a)

Obliczymy prawdopodobieństwo, że wylosowana karta jest waletem, jeżeli wiadomo, że wylosowana karta jest kierem.

W talii kart są 52 karty, więc:

$\left|\Omega \right|=52$  

Niech: 

A - zdarzenie, że wylosowana karta jest waletem

B - zdarzenie, że wylosowana karta jest kierem

Wówczas:

A∩B - zdarzenie, że wylosowana karta jest waletem i jest kierem

Korzystamy ze wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe i obliczamy prawdopodobieństwo, że wylosowana karta jest waletem, jeżeli wiadomo, że wylosowana karta jest kierem:

$P\left(A\mid B\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}$  

Wiemy, że w talii kart jest 13 kart kier i jedna z nich jest waletem, więc:

$\left|A\cap B\right|=1$  

$\left|B\right|=13$  

Zatem:

$P\left(A\mid B\right)=\frac{\frac{1}{52}}{\frac{13}{52}}=\frac{1}{{\cancel{52}}^1}\cdot \frac{{\cancel{52}}^1}{13}=\underline{\underline{\frac{1}{13}}}$  

---

b)

Obliczymy prawdopodobieństwo, że wylosowana karta jest waletem, jeżeli wiadomo, że wylosowana karta jest figurą.

W talii kart są 52 karty, więc:

$\left|\Omega \right|=52$  

Niech: 

A - zdarzenie, że wylosowana karta jest waletem

B - zdarzenie, że wylosowana karta jest figurą

Wówczas:

A∩B - zdarzenie, że wylosowana karta jest waletem i jest figurą

Ponieważ walet jest figurą - możemy więc zauważyć, że:

$A\cap B=A$  

Korzystamy ze wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe i obliczamy prawdopodobieństwo, że wylosowana karta jest waletem, jeżeli wiadomo, że wylosowana karta jest figurą:

$P\left(A\mid B\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}$  

Wiemy, że w talii kart są 4 figury (walet, dama, król, as) w każdym z 4 kolorów (kier, karo, trefl, pik), więc:

$\left|B\right|=4\cdot 4=16$  

Wiemy, że w talii kart w każdym z 4 kolorów jest jeden walet, więc:

$\left|A\cap B\right|=\left|A\right|=4$  

Zatem:

$P\left(A\mid B\right)=\frac{\frac{4}{52}}{\frac{16}{52}}=\frac{4}{{\cancel{52}}^1}\cdot \frac{{\cancel{52}}^1}{16}=\frac{4}{16}=\underline{\underline{\frac{1}{4}}}$  

---

c)

Obliczymy prawdopodobieństwo, że wylosowana karta jest waletem, jeżeli wiadomo, że wylosowana karta nie jest asem.

W talii kart są 52 karty, więc:

$\left|\Omega \right|=52$  

Niech: 

A - zdarzenie, że wylosowana karta jest waletem

B - zdarzenie, że wylosowana karta nie jest asem

Wówczas:

A∩B - zdarzenie, że wylosowana karta jest waletem i nie jest asem

Ponieważ walet jest nie jest asem - możemy więc zauważyć, że:

$A\cap B=A$  

Korzystamy ze wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe i obliczamy prawdopodobieństwo, że wylosowana karta jest waletem, jeżeli wiadomo, że wylosowana karta nie jest asem:

$P\left(A\mid B\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}$  

Wiemy, że w 52 talii kart w każdym z 4 kolorów jest jeden as, więc:

$\left|B\right|=52-4=48$  

Wiemy, że w talii kart w każdym z 4 kolorów jest jeden walet, więc:

$\left|A\cap B\right|=\left|A\right|=4$  

Zatem:

$P\left(A\mid B\right)=\frac{\frac{4}{52}}{\frac{48}{52}}=\frac{4}{{\cancel{52}}^1}\cdot \frac{{\cancel{52}}^1}{48}=\frac{4}{48}=\underline{\underline{\frac{1}{12}}}$