Zdarzenia rozłączne (wykluczające się) Zdarzenia A i B są zdarzeniami wykluczającymi się, jeśli zdarzenie A∩B jest zdarzeniem niemożliwym, czyli gdy $A\cap B=\varnothing$

---

Wiemy, że:

$A\subset \Omega$  

$B\subset \Omega$  

$P\left(A\right)=\frac{1}{3}$  

$P\left(B\right)=\frac{3}{4}$  

Korzystamy z twierdzenia o prawdopodobieństwie sumy zdarzeń:

$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)\left(\text{*}\right)$  

Zauważmy, że jeśli zdarzenia A i B byłyby zdarzeniami wykluczającymi się, czyli zdarzenie A∩B byłoby zdarzeniem niemożliwym:

$A\cap B=\varnothing$  

To ponieważ prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego jest równe 0, wzór (*) miałby postać:

$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)$  

Zauważmy, że:

$P\left(A\right)+P\left(B\right)=\frac{1}{3}+\frac{3}{4}=\frac{4}{12}+\frac{9}{12}=\frac{13}{12}>1$  

Wiemy, że prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia jest zawsze liczbą z przedziału <0, 1>, więc:

$0\le P\left(A\cup B\right)\le 1$  

Otrzymujemy więc sprzeczność, bo:

$\underset{\in ⟨0,1⟩}{\underbrace{P\left(A\cup B\right)}}\ne \underset{>1}{\underbrace{P\left(A\right)+P\left(B\right)}}$  

Zatem:

$A\cap B\ne \varnothing$  

Zdarzenia A i B nie są zdarzeniami wykluczającymi się.