Przykładowe rozwiązanie:

---

---

I GRA - "LOTTO"

Aby wygrać główną nagrodę, należy wytypować 6 liczb z zakresu od 1 do 49 (1, 2, 3, ..., 49).

---

Niech:

T - wylosowana liczba jest wytypowana przez nas (jest skreślona na naszym kuponie)

N - wylosowana liczba nie jest wytypowana przez nas (nie jest skreślona na naszym kuponie)

Rysujemy drzewo:

Obliczamy prawdopodobieństwo, że wygramy główną nagrodę (korzystamy z reguły iloczynów):

$\frac{6}{49}\cdot \frac{5}{48}\cdot \frac{4}{47}\cdot \frac{3}{46}\cdot \frac{2}{45}\cdot \frac{1}{44}=\frac{720}{10068347520}=\frac{1}{13983816}$  

---

*Uwaga (dotycząca I GRY).

Zauważmy, że prawdopodobieństwo wygrania głównej nagrody możemy również obliczyć innym sposobem (bez rysowania drzewa).

W treści zadania proszą nas o ilustrację gry, więc powyższe rozwiązanie wydaje się być "lepsze".

Poniżej DRUGI SPOSÓB (NIEOBOWIĄZKOWY) obliczenia prawdopodobieństwa wygranej w "LOTTO".

 

Obliczymy najpierw, ile jest możliwości wyboru 6 liczb z 49 liczb.

Zauważmy, że kolejność wyboru liczb nie ma znaczenia.

Liczba możliwości wyboru 6 liczb jest więc równa liczbie wszystkich kombinacji 6-elementowych zbioru 49 elementowego:

$\left(\begin{array}{c}49\\ 6\end{array}\right)=\frac{49!}{6!\cdot \left(49-6\right)!}=\frac{49!}{6!\cdot 43!}=\frac{{\cancel{43!}}^1\cdot 44\cdot 45\cdot 46\cdot 47\cdot 48\cdot 49}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot {\cancel{43!}}^1}=$  

$=\frac{10068347520}{720}=13983816$  

To oznacza, że liczba wszystkich możliwych zdarzeń przestrzeni Ω jest równa:

$|\Omega |=13983816$  

Zauważmy, że jest tylko jedna możliwość wybrania 6 liczb, które "wygrywają". To oznacza, że liczba wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A (wygramy główną nagrodę) jest równa:

$|A|=1$  

Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A (wygramy główną nagrodę):

$P\left(A\right)=\frac{|A|}{|\Omega |}=\frac{1}{13983816}$  

---

---

II GRA - "MINI LOTTO"

Aby wygrać główną nagrodę, należy wytypować 5 liczb z zakresu od 1 do 42 (1, 2, 3, ..., 42).

---

Niech:

T - wylosowana liczba jest wytypowana przez nas (jest skreślona na naszym kuponie)

N - wylosowana liczba nie jest wytypowana przez nas (nie jest skreślona na naszym kuponie)

Rysujemy drzewo:

Obliczamy prawdopodobieństwo, że wygramy główną nagrodę (korzystamy z reguły iloczynów):

$\frac{5}{42}\cdot \frac{4}{41}\cdot \frac{3}{40}\cdot \frac{2}{39}\cdot \frac{1}{38}=\frac{120}{102080160}=\frac{1}{850668}$  

---

*Uwaga (dotycząca II GRY).

Zauważmy, że prawdopodobieństwo wygrania głównej nagrody możemy również obliczyć innym sposobem (bez rysowania drzewa).

W treści zadania proszą nas o ilustrację gry, więc powyższe rozwiązanie wydaje się być "lepsze".

Poniżej DRUGI SPOSÓB (NIEOBOWIĄZKOWY) obliczenia prawdopodobieństwa wygranej w "MINI LOTTO".

 

Obliczymy najpierw, ile jest możliwości wyboru 5 liczb z 42 liczb.

Zauważmy, że kolejność wyboru liczb nie ma znaczenia.

Liczba możliwości wyboru 5 liczb jest więc równa liczbie wszystkich kombinacji 5-elementowych zbioru 42-elementowego:

$\left(\begin{array}{c}42\\ 5\end{array}\right)=\frac{42!}{5!\cdot \left(42-5\right)!}=\frac{42!}{5!\cdot 37!}=\frac{{\cancel{37!}}^1\cdot 38\cdot 39\cdot 40\cdot 41\cdot 42}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot {\cancel{37!}}^1}=$  

$=\frac{102080160}{120}=850668$  

To oznacza, że liczba wszystkich możliwych zdarzeń przestrzeni Ω jest równa:

$|\Omega |=850668$  

Zauważmy, że jest tylko jedna możliwość wybrania 5 liczb, które "wygrywają". To oznacza, że liczba wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A (wygramy główną nagrodę) jest równa:

$|A|=1$  

Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A (wygramy główną nagrodę):

$P\left(A\right)=\frac{|A|}{|\Omega |}=\frac{1}{850668}$