Wykaż, że prawdziwa jest równość...- Zadanie Ćwiczenie 20: Matematyka i przykłady jej zastosowań 4. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

Wzór dwumianowy Newtona

Dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b, różnych od zera, oraz dowolnej liczby naturalnej n zachodzi wzór:

$(a + b)^{n} = (n 0) a^{n} b^{0} + (n 1) a^{n - 1} b^{1} + (n 2) a^{n - 2} b^{2} + \dots + (n n - 1) a^{1} b^{n - 1} + (n n) a^{0} b^{n}$

Wykażemy, że prawdziwa jest równość:

$(n 0) - (n 1) + (n 2) - (n 3) + \dots + (- 1)^{n} (n n) = 0$

Zauważmy, że:

$0 = (1 - 1)^{n} = (1 + (- 1))^{n} =$

Korzystamy ze wzoru dwumianowego Newtona i otrzymujemy, że:

$= (n 0) \cdot 1^{n} \cdot (- 1)^{0} + (n 1) \cdot 1^{n - 1} \cdot (- 1)^{1} + (n 2) \cdot 1^{n - 2} \cdot (- 1)^{2} +$

$+ (n 3) \cdot 1^{n - 3} \cdot (- 1)^{3} + \dots + (n n) \cdot 1^{0} \cdot (- 1)^{n} =$

$= (n 0) \cdot 1 \cdot 1 + (n 1) \cdot 1 \cdot (- 1) + (n 2) \cdot 1 \cdot 1 + (n 3) \cdot 1 \cdot (- 1) + \dots +$

$+ (n n) \cdot 1 \cdot (- 1)^{n} = (n 0) - (n 1) + (n 2) - (n 3) + \dots + (- 1)^{n} \cdot (n n)$

Pokazaliśmy, że:

$(n 0) - (n 1) + (n 2) - (n 3) + \dots + (- 1)^{n} (n n) = 0$

Co należało wykazać.

Patrycja Olszowy

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego

Premium

13:04

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Zastosowania wzorów skróconego mnożenia stopnia 2

Premium

13:07

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Liczby niewymierne. Liczby rzeczywiste.

Premium

13:42

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.