a)

Obliczamy średnią liczbę gwoździ w jednej paczce:

$\overline{x}=\frac{1\cdot 47+3\cdot 48+10\cdot 49+21\cdot 50+12\cdot 51+2\cdot 52+1\cdot 54}{1+3+10+21+12+2+1}=$  

$=\frac{47+144+490+1050+612+104+0+54}{50}=\frac{2501}{50}=\underline{\underline{50,02}}$  

---

b)

Obliczamy odchylenie standardowe od średniej liczby gwoździ:

$\sigma =\sqrt{\frac{{\left(47-50,02\right)}^2+3\cdot {\left(48-50,02\right)}^2+10\cdot {\left(49-50,02\right)}^2+21\cdot {\left(50-50,02\right)}^2+12\cdot {\left(51-50,02\right)}^2+2\cdot {\left(52-50,02\right)}^2+{\left(54-50,02\right)}^2}{50}}=$  

$=\sqrt{\frac{{\left(-3,02\right)}^2+3\cdot {\left(-2,02\right)}^2+10\cdot {\left(-1,02\right)}^2+21\cdot {\left(0,02\right)}^2+12\cdot {\left(0,98\right)}^2+2\cdot {\left(1,98\right)}^2+{\left(3,98\right)}^2}{50}}=$  

$=\sqrt{\frac{9,1204+3\cdot 4,0804+10\cdot 1,0404+21\cdot 0,0004+12\cdot 0,9604+2\cdot 3,9204+15,8404}{50}}=$  

$=\sqrt{\frac{9,1204+12,2412+10,404+0,0084+11,5248+7,8408+15,8404}{50}}=$  

$=\sqrt{\frac{66,98}{50}}=\sqrt{1,3396}\approx \underline{\underline{1,16}}$  

---

c)

Korzystamy z obliczeń z podpunktu a) i b) - otrzymujemy, że:

$\overline{x}-2\sigma \approx 50,02-2\cdot 1,16=50,02-2,32=47,7$  

$\overline{x}+2\sigma \approx 50,02+2\cdot 1,16=50,02+2,32=52,34$  

Zatem:

$⟨\overline{x}-2\sigma ,\overline{x}+2\sigma ⟩\approx ⟨47,7;52,34⟩$  

Do danego przedziału nie należą paczki zawierające 47 gwoździ (1 paczka) i 54 gwoździe (1 paczka).

Obliczamy, jaki procent wszystkich paczek nie należy do podanego przedziału:

$\frac{1+1}{50}\cdot 100\%=\frac{2}{50}\cdot 100\%=\frac{200}{50}\%=\underline{\underline{4\%}}$  

Zatem stwierdzenie, że mniej niż 1% paczek zawiera liczbę gwoździ nienależącą do podanego przedziału jest fałszywe.