Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat, a ściany boczne są przystającymi trójkątami równoramiennymi.

Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym rysunku:

Ze wzoru na przekątną kwadratu:

$\left|AC\right|=\left|AB\right|\cdot \sqrt{2}=12\sqrt{2}$  

Przekątne kwadratu przecinają się w połowie, więc:

$\left|AO\right|=\left|OC\right|=\frac{\left|AC\right|}{2}=\frac{12\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2}$  

 

Spójrzmy na trójkąt prostokątny SOC:

$\text{tg}{65}^{\circ }=\frac{\left|SO\right|}{\left|OC\right|}$  

$\text{tg}{65}^{\circ }=\frac{\left|SO\right|}{6\sqrt{2}}$  

Stąd:

$\left|SO\right|=6\sqrt{2}\cdot \text{tg}{65}^{\circ }$  

 

Obliczamy objętość tego ostrosłupa:

$V=\frac{1}{3}\cdot \underset{\text{pole podstawy}}{\underbrace{{\left|AB\right|}^2}}\cdot \underset{\text{wysokosˊcˊ}}{\underbrace{\left|SO\right|}}=\frac{1}{3}\cdot {12}^2\cdot 6\sqrt{2}\cdot \text{tg}{65}^{\circ }=$  

$=\frac{1}{3}\cdot 144\cdot 6\sqrt{2}\cdot \text{tg}{65}^{\circ }=48\cdot 6\sqrt{2}\cdot \text{tg}{65}^{\circ }=$  

$=288\sqrt{2}\cdot \text{tg}{65}^{\circ }$  

Z tablicy wartości funkcji trygonometrycznych odczytujemy, że:

$\text{tg}{65}^{\circ }\approx 2,1445$  

Zatem:

$V\approx 288\sqrt{2}\cdot 2,1445\approx \underline{\underline{873,4\left[{\text{cm}}^3\right]}}$