a)

Korzystamy z rysunku w podręczniku.

Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat, a ściany boczne są przystającymi trójkątami równoramiennymi.

Ze wzoru na przekątną kwadratu:

$\left|AC\right|=\left|AB\right|\cdot \sqrt{2}$  

$\left|AC\right|=5\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}$  

$\left|AC\right|=5\cdot 2$  

$\left|AC\right|=10$  

Przekątne kwadratu przecinają się w połowie, więc:

$\left|AO\right|=\left|OC\right|=\frac{\left|AC\right|}{2}=\frac{10}{2}=5$  

Spójrzmy na trójkąt prostokątny AOS:

$\cos \alpha =\frac{\left|AO\right|}{\left|AS\right|}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$  

Stąd:

$\underline{\underline{\alpha ={60}^{\circ }}}$  

---

b)

Korzystamy z rysunku w podręczniku.

Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat, a ściany boczne są przystającymi trójkątami równoramiennymi.

Stąd:

$\left|BS\right|=\left|CS\right|=30$  

Z twierdzenia cosinusów (trójkąt BCS):

${\left|CS\right|}^2={\left|BC\right|}^2+{\left|BS\right|}^2-2\cdot \left|BC\right|\cdot \left|BS\right|\cdot \cos \alpha$  

${30}^2={20}^2+{30}^2-2\cdot 20\cdot 30\cdot \cos \alpha$  

$900=400+900-1200\cdot \cos \alpha$  

$1200\cdot \cos \alpha =400+900-900$  

$1200\cdot \cos \alpha =400\mid :1200$  

$\cos \alpha =\frac{400}{1200}$  

$\cos \alpha =\frac{1}{3}$  

$\cos \alpha \approx 0,3333$  

Z tablicy wartości funkcji trygonometrycznych odczytujemy, że:

$\cos {71}^{\circ }\approx 0,3256$  

$\cos {70}^{\circ }\approx 0,3420$  

Zatem:

$\underline{\underline{\alpha \approx {70,5}^{\circ }}}$  

---

c)

Korzystamy z rysunku w podręczniku.

Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat, a ściany boczne są przystającymi trójkątami równoramiennymi.

Stąd:

$\left|BC\right|=\left|AB\right|=12$  

$\left|BS\right|=\left|CS\right|=\left|AS\right|=18$  

Z twierdzenia cosinusów (trójkąt BCS):

${\left|BC\right|}^2={\left|BS\right|}^2+{\left|CS\right|}^2-2\cdot \left|BS\right|\cdot \left|CS\right|\cdot \cos \alpha$  

${12}^2={18}^2+{18}^2-2\cdot 18\cdot 18\cdot \cos \alpha$  

$144=324+324-648\cdot \cos \alpha$  

$144=648-648\cdot \cos \alpha$  

$648\cdot \cos \alpha =648-144$  

$648\cdot \cos \alpha =504\mid :648$  

$\cos \alpha =\frac{504}{648}$  

$\cos \alpha \approx 0,7778$  

Z tablicy wartości funkcji trygonometrycznych odczytujemy, że:

$\cos {39}^{\circ }\approx 0,7771$  

Zatem:

$\underline{\underline{\alpha \approx {39}^{\circ }}}$  

Uwaga. W odpowiedzi podanej w podręczniku jest błąd. Poprawna odpowiedź powyżej.