Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat, a ściany boczne są przystającymi trójkątami równoramiennymi.

Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym rysunku:

---

a)

Ze wzoru na przekątną kwadratu (kwadrat ABCD):

$\left|AC\right|=\left|AB\right|\cdot \sqrt{2}=8\sqrt{2}$  

Przekątne kwadratu przecinają się w połowie, więc:

$\left|AO\right|=\left|OC\right|=\frac{\left|AC\right|}{2}=\frac{8\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}$  

Z twierdzenia Pitagorasa (trójkąt SOC):

${\left|SC\right|}^2={\left|SO\right|}^2+{\left|OC\right|}^2$  

${\left|SC\right|}^2={\left(4\sqrt{2}\right)}^2+{\left(4\sqrt{2}\right)}^2$  

${\left|SC\right|}^2=16\cdot 2+16\cdot 2$  

${\left|SC\right|}^2=32+32$  

${\left|SC\right|}^2=64$  

Długości odcinków są dodatnie, więc:

$\left|SC\right|=\sqrt{64}$  

$\left|SC\right|=\underline{\underline{8}}$  

 

Odp. Krawędź boczna ma długość 8.

---

b)

Zauważmy, że miara kąta zawartego pomiędzy wysokością ostrosłupa a krawędzią boczną to miara kąta OSC.

Spójrzmy na trójkąt prostokątny SOC:

$\text{tg}\left|\sphericalangle OSC\right|=\frac{\left|OC\right|}{\left|SO\right|}=\frac{\left|OC\right|}{4\sqrt{2}}$  

Z podpunktu a) wiemy, że:

$\left|OC\right|=4\sqrt{2}$  

Zatem:

$\text{tg}\left|\sphericalangle OSC\right|=\frac{4\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}=1$  

Stąd:

$\left|\sphericalangle OSC\right|=\underline{\underline{{45}^{\circ }}}$  

 

Odp. Kąt zawarty pomiędzy wysokością ostrosłupa a krawędzią boczną ma miarę 45°.

---

c)

Zauważmy, że miara kąta zawartego pomiędzy dwiema krawędziami bocznymi to miara kąta ASC (kąt między przeciwległymi krawędziami bocznymi) lub miara kąta ASB (kąt między sąsiednimi krawędziami bocznymi).

 

Wiemy, że:

$\left|SA\right|=\left|SB\right|=\left|SC\right|=\left|SD\right|$  

Zauważmy, że (ponieważ wysokość trójkąta równoramiennego ASC dzieli ten trójkąt na dwa przystające trójkąty prostokątne):

$\left|\sphericalangle ASC\right|=2\cdot \left|\sphericalangle OSC\right|$  

Z podpunktu b) wiemy, że:

$\left|\sphericalangle OSC\right|={45}^{\circ }$  

Zatem:

$\left|\sphericalangle ASC\right|=2\cdot {45}^{\circ }=\underline{\underline{{90}^{\circ }}}$  

 

Z podpunktu b) wiemy, że:

$\left|SC\right|=8$  

Zatem:

$\left|SA\right|=\left|SB\right|=\left|SC\right|=\left|SD\right|=8$  

Ponadto:

$\left|AB\right|=8$  

Trójkąt ABS jest trójkątem równobocznym, więc:

$\left|\sphericalangle ASB\right|=\underline{\underline{{60}^{\circ }}}$  

 

Odp. Kąt zawarty pomiędzy dwiema krawędziami bocznymi ma miarę 90° lub 60°.

---

d)

Zauważmy, że miara kąta zawartego pomiędzy krawędzią boczną a płaszczyzną podstawy to miara kąta SCO.

Spójrzmy na trójkąt prostokątny SOC:

$\text{tg}\left|\sphericalangle SCO\right|=\frac{\left|SO\right|}{\left|OC\right|}=\frac{4\sqrt{2}}{\left|OC\right|}$  

Z podpunktu a) wiemy, że:

$\left|OC\right|=4\sqrt{2}$  

Zatem:

$\text{tg}\left|\sphericalangle SCO\right|=\frac{4\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}=1$  

Stąd:

$\left|\sphericalangle SCO\right|=\underline{\underline{{45}^{\circ }}}$  

 

Odp. Kąt zawarty pomiędzy krawędzią boczną a płaszczyzną podstawy ma miarę 45°.