Podstawą graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest trójkąt równoboczny, a ściany boczne są prostokątami.

Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym rysunku:

Ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego:

$\left|D{C}_1\right|=\frac{4\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{2}=\frac{{\cancel{4}}^2\cdot 3}{{\cancel{2}}^1}=6$  

 

Spójrzmy na trójkąt prostokątny BDC₁:

$\sin {45}^{\circ }=\frac{\left|D{C}_1\right|}{\left|B{C}_1\right|}$  

$\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{6}{\left|B{C}_1\right|}$  

Stąd:

$\sqrt{2}\cdot \left|B{C}_1\right|=2\cdot 6$  

$\sqrt{2}\cdot \left|B{C}_1\right|=12\mid :\sqrt{2}$  

$\left|B{C}_1\right|=\frac{12}{\sqrt{2}}$  

 

Z twierdzenia Pitagorasa (trójkąt BCC₁):

${\left|BC\right|}^2+{\left|C{C}_1\right|}^2={\left|B{C}_1\right|}^2$  

${\left(4\sqrt{3}\right)}^2+{\left|C{C}_1\right|}^2={\left(\frac{12}{\sqrt{2}}\right)}^2$  

$16\cdot 3+{\left|C{C}_1\right|}^2=\frac{144}{2}$  

$48+{\left|C{C}_1\right|}^2=72$  

${\left|C{C}_1\right|}^2=72-48$  

${\left|C{C}_1\right|}^2=24$  

Długości odcinków są dodatnie, więc:

$\left|C{C}_1\right|=\sqrt{24}$  

$\left|C{C}_1\right|=\sqrt{4\cdot 6}$  

$\left|C{C}_1\right|=2\sqrt{6}$  

 

Obliczamy objętość tego graniastosłupa:

$V=\underset{\text{pole podstawy}}{\underbrace{\frac{{\left(4\sqrt{3}\right)}^2\cdot \sqrt{3}}{4}}}\cdot \underset{\text{wysokosˊcˊ}}{\underbrace{2\sqrt{6}}}=\frac{{\cancel{16}}^4\cdot 3\cdot \sqrt{3}}{{\cancel{4}}^1}\cdot 2\sqrt{6}=12\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{6}=24\sqrt{18}=24\cdot \sqrt{9\cdot 2}=24\cdot 3\sqrt{2}=\underline{\underline{72\sqrt{2}}}$