W ćwiczeniu 7. wykazaliśmy, że długość przekątnej d prostopadłościanu o krawędziach a, b, c określona jest wzorem: $d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

---

Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym rysunku:

 

Obliczamy długość przekątnej prostopadłościanu:

$d=\sqrt{6^2+6^2+{\left(6\sqrt{2}\right)}^2}=\sqrt{36+36+36\cdot 2}=\sqrt{72+72}=\sqrt{144}=\underline{\underline{12\left[\text{cm}\right]}}$  

 

Obliczamy miarę kąta nachylenia przekątnej prostopadłościanu do płaszczyzny podstawy.

Spójrzmy na trójkąt prostokątny ACC₁:

$\sin \alpha =\frac{\left|C_{1}C\right|}{\left|A{C}_1\right|}$  

$\sin \alpha =\frac{6\sqrt{2}}{d}$  

$\sin \alpha =\frac{6\sqrt{2}}{12}$  

$\sin \alpha =\frac{\sqrt{2}}{2}$  

Stąd:

$\alpha =\underline{\underline{{45}^{\circ }}}$  

 

Obliczamy miarę kąta nachylenia przekątnej prostopadłościanu do ścian bocznych ADD₁A₁ i BCC₁B₁.

Spójrzmy na trójkąt prostokątny AD₁C₁:

$\sin \beta =\frac{\left|D_1{C}_1\right|}{\left|A{C}_1\right|}$  

$\sin \beta =\frac{6}{d}$  

$\sin \beta =\frac{6}{12}$  

$\sin \beta =\frac{1}{2}$  

Stąd:

$\beta =\underline{\underline{{30}^{\circ }}}$  

 

Obliczamy miarę kąta nachylenia przekątnej prostopadłościanu do ścian bocznych ABB₁A₁ i DCC₁D₁.

Spójrzmy na trójkąt prostokątny ADC₁:

$\sin \gamma =\frac{\left|AD\right|}{\left|A{C}_1\right|}$  

$\sin \gamma =\frac{6}{d}$  

$\sin \gamma =\frac{6}{12}$  

$\sin \gamma =\frac{1}{2}$  

Stąd:

$\gamma =\underline{\underline{{30}^{\circ }}}$