a)

Naszkicujmy ten trójkąt.

Obliczmy długość przeciwprostokątnej z twierdzenia Pitagorasa.

$$\begin{gathered} c^2=3^2+4^2 \\ {c}^2=9+16 \\ {c}^2=25,c>0 \\ c=5 \end{gathered}$$

Zatem ze wzorów na wartości funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym mamy

$$\begin{gathered} \sin \alpha =\frac{3}{5} \\ \cos \alpha =\frac{4}{5} \\ \mathrm{tg}\alpha =\frac{3}{4} \\ \sin \beta =\frac{4}{5} \\ \cos \beta =\frac{3}{5} \\ \mathrm{tg}\beta =\frac{4}{3} \end{gathered}$$

---

b)

Naszkicujmy ten trójkąt.

Obliczmy długość przeciwprostokątnej z twierdzenia Pitagorasa.

$$\begin{gathered} c^2={\left(2\sqrt{3}\right)}^2+{\left(3\sqrt{2}\right)}^2 \\ {c}^2=12+18 \\ {c}^2=30,c>0 \\ c=\sqrt{30} \end{gathered}$$

Zatem ze wzorów na wartości funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym mamy

$$\begin{gathered} \sin \alpha =\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{30}}=\frac{2}{\sqrt{10}}=\frac{2\sqrt{10}}{10}=\frac{\sqrt{10}}{5} \\ \cos \alpha =\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{30}}=\frac{3}{\sqrt{15}}=\frac{3\sqrt{15}}{15}=\frac{\sqrt{15}}{5} \\ \mathrm{tg}\alpha =\frac{2\sqrt{3}}{3\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{6}}{6}=\frac{\sqrt{6}}{3} \\ \sin \beta =\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{30}}=\frac{3}{\sqrt{15}}=\frac{3\sqrt{15}}{15}=\frac{\sqrt{15}}{5} \\ \cos \beta =\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{30}}=\frac{2}{\sqrt{10}}=\frac{2\sqrt{10}}{10}=\frac{\sqrt{10}}{5} \\ \mathrm{tg}\beta =\frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{6}}{6}=\frac{\sqrt{6}}{2} \end{gathered}$$

---

c)

Naszkicujmy ten trójkąt.

Obliczmy długość przeciwprostokątnej z twierdzenia Pitagorasa.

$$\begin{gathered} c^2={\left(\sqrt{3}-1\right)}^2+{\left(\sqrt{3}+1\right)}^2 \\ {c}^2=3-2\sqrt{3}+1+3+2\sqrt{3}+1 \\ {c}^2=8,c>0 \\ c=2\sqrt{2} \end{gathered}$$

Zatem ze wzorów na wartości funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym mamy

$$\begin{gathered} \sin \alpha =\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \\ \cos \alpha =\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \\ \mathrm{tg}\alpha =\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}=\frac{(\sqrt{3}-1{)}^2}{3-1}=\frac{3-2\sqrt{3}+1}{2}=\frac{4-2\sqrt{3}}{2}=2-\sqrt{3} \\ \sin \beta =\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \\ \cos \beta =\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \\ \mathrm{tg}\beta =\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}=\frac{(\sqrt{3}+1{)}^2}{3-1}=\frac{3+2\sqrt{3}+1}{2}=\frac{4+2\sqrt{3}}{2}=2+\sqrt{3} \end{gathered}$$