a)

Skorzystamy z twierdzenia o pierwiastkach całkowitych wielomianu. Są one dzielnikami wyrazu wolnego. Zatem wpisujemy możliwości

$1,-1,2,-2,3,-3,6,-6$

Sprawdźmy $x=1$.

$W\left(1\right)=1^3-6\cdot 1^2+11\cdot 1-6=1-6+11-6=0$

Jest to pierwiastek. Wykonajmy dzielenie przez dwumian $x-1$ schematem Hornera.

	$1$	$-6$	$11$	$-6$
$1$	$1$	$-5$	$6$	$0$

Otrzymaliśmy

$W\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x^2-5x+6\right)$

Obliczmy pomocniczo dla trójmianu w nawiasie

$$\begin{gathered} \Delta ={\left(-5\right)}^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1,\sqrt{\Delta }=1 \\ {x}_1=\frac{5-1}{2}=2,x_2=\frac{5+1}{2}=3 \end{gathered}$$

Zatem

$W\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)$

Całkowite pierwiastki wielomianu to

$1,2,3$

---

b)

Pogrupujmy wyrazy wielomianu.

$W\left(x\right)=-x^3+5x^2+x-5=-x^2\left(x-5\right)+\left(x-5\right)=\left(x-5\right)\left(1-x^2\right)$

Ze wzoru skróconego mnożenia

$W\left(x\right)=\left(x-5\right)\left(1-x\right)\left(1+x\right)$

Całkowite pierwiastki wielomianu to

$5,1,-1$

---

c)

Pogrupujmy wyrazy wielomianu.

$W\left(x\right)=-x^3-2x^2+3x+6=-x^2\left(x+2\right)+3\left(x+2\right)=\left(x+2\right)\left(3-x^2\right)$

Ze wzoru skróconego mnożenia

$W\left(x\right)=\left(x+2\right)\left(\sqrt{3}-x\right)\left(\sqrt{3}+x\right)$

Całkowite pierwiastki wielomianu to

$-2$

---

d)

Skorzystamy z twierdzenia o pierwiastkach całkowitych wielomianu. Są one dzielnikami wyrazu wolnego. Zatem wpisujemy możliwości

$1,-1$

Sprawdźmy $x=-1$.

$$\begin{gathered} W\left(-1\right)=8\cdot {\left(-1\right)}^3+4\cdot {\left(-1\right)}^2-3\cdot \left(-1\right)-1=-8+4+3-1=-2\ne 0 \\ W\left(1\right)=8\cdot 1^3+4\cdot 1^2-3\cdot 1-1=8+4-3-1=8\ne 0 \end{gathered}$$

Wielomian nie ma pierwiastków całkowitych.