Twierdzenie o odcinku łączącym środki boków trójkąta

Odcinek łączący środki dwóch boków trójkąta jest równoległy do trzeciego boku trójkąta. Długość tego odcinka jest stanowi połowę długości trzeciego boku.  (*)

---

Rozważamy trójkąt ABC, w którym punkty P, Q, R są środkami boków tego trójkąta.

Wiemy, że

$P_{△\text{PQR}}=5$  

Obliczamy pole trójkąta ABC.

---

Skoro P,Q, R są środkami boków trójkąta ABC, to możemy oznaczyć:

$\left|AR\right|=\left|RC\right|=x$  

$\left|AP\right|=\left|PB\right|=y$  

$\left|BQ\right|=\left|QC\right|=z$  

Sporządzamy rysunek pomocniczy i przyjmujemy oznaczenia takie jak na rysunku.

Rysunek:

Zauważmy, że odcinek PR jest odcinkiem łączącym środki boków trójkąta. Zatem na mocy twierdzenia (*) jest on równoległy do boku CB i jego długość jest równa połowie długości odcinka CB, czyli

$\left|RP\right|=\frac{1}{2}\cdot 2z=z$  

Zauważmy, że odcinek PQ jest odcinkiem łączącym środki boków trójkąta. Zatem na mocy twierdzenia (*) jest on równoległy do boku AC i jego długość jest równa połowie długości odcinka AC, czyli

$\left|PQ\right|=\frac{1}{2}\cdot 2x=x$  

 Zauważmy, że odcinek RQ jest odcinkiem łączącym środki boków trójkąta. Zatem na mocy twierdzenia (*) jest on równoległy do boku AB i jego długość jest równa połowie długości odcinka AB, czyli

$\left|RQ\right|=\frac{1}{2}\cdot 2y=y$  

---

Długości boków trójkąta PQR są proporcjonalne do długości boków trójkąta ABC - długości boków trójkąta PQR są dwa razy mniejsze od długości boków trójkąta ABC. 

To oznacza - na mocy cechy bbb (bok-bok-bok), że trójkąty PQR i ABC są podobne. Skala podobieństwa jest równa

$k=\frac{1}{2}$  

Przypomnijmy, że stosunek pól trójkątów podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa, czyli

$\frac{P_{△PQR}}{P_{△ABC}}=k^2={\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$  

Wiemy, że pole trójkąta PQR jest równe 5. Stąd

$\frac{5}{P_{△\text{ABC}}}=\frac{1}{4}$  

Korzystamy z własności proporcji i otrzymujemy:

$P_{\Delta \text{ABC}}=5\cdot 4=\underline{\underline{20}}$