Rozważamy ciąg geometryczny (an) o wszystkich wyrazach dodatnich. Niech q będzie ilorazem tego ciągu. Zakładamy zatem, że
Wiadomo również, że
Korzystając ze wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego, tj.
przekształcamy powyższą równość:
Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy:
Stąd mamy:
Stąd otrzymujemy, że iloraz ciągu (an) jest równy:
Rozważamy teraz ciąg (bn), który jest arytmetyczny. Niech r oznacza różnicę tego ciągu. O tym ciągu wiemy, że suma dwudziestu pięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa sumie wszystkich wyrazów ciągu (an).
Korzystając ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego, tj.
obliczamy sumę wszystkich wyrazów ciągu (an).
Korzystamy ze wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i zapisujemy sumę dwudziestu pięciu początkowych wyrazów tego ciągu, czyli S25
Wiemy, że
czyli
Czyli
O ciągu (bn) wiadomo również, że
Ze wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego obliczamy a3.
Z kolei, ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego, mamy:
Stąd
Otrzymaliśmy dwa równania (zaznaczone kolorem czerwonym). Budujemy z nich układ równań i wyznaczamy z niego b1.
Rozwiązujemy powyższy układ metodą podstawiania. Mamy wyznaczyć wyłącznie b1, zatem powyższy układ przekształcamy w ten sposób, aby przy niewiadomej r w równaniach były przeciwne współczynniki.
Stąd otrzymujemy, że
Odp.: Pierwszy wyraz ciągu (bn) jest równy b1=129.
Paweł Brzozowski
Nauczyciel matematyki
Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:
Tutaj pojawi się lista Twoich książek
Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.

