Rozważamy ciąg geometryczny (a_n) o wszystkich wyrazach dodatnich. Niech q będzie ilorazem tego ciągu. Zakładamy zatem, że

$q>0$  

Wiadomo również, że 

$a_1=675$  

$a_{22}=\frac{5}{4}{a}_{23}+\frac{1}{5}{a}_{21}$  

---

Korzystając ze wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego, tj.

$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$  

przekształcamy powyższą równość:

$a_{21}\cdot q=\frac{5}{4}\cdot a_{21}{q}^2+\frac{1}{5}{a}_{21}\mid :a_{21}>0$  

$q=\frac{5}{4}{q}^2+\frac{1}{5}\mid \cdot 20$  

$20q={\cancel{20}}^5\cdot \frac{5}{{\cancel{4}}_1}{q}^2+{\cancel{20}}^4\cdot \frac{1}{{\cancel{5}}_1}$  

$20q=25q^2+4$  

$-25q^2+20q-4=0\mid \cdot \left(-1\right)$  

$25q^2-20q+4=0$  

${\left(5q\right)}^2-2\cdot 5q\cdot 2+2^2=0$   

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy:

${\left(5q-2\right)}^2=0$

Stąd mamy:

$5q-2=0$  

$5q=2\mid :5$  

Stąd otrzymujemy, że iloraz ciągu (a_n) jest równy:

$q=\frac{2}{5}>0$  

---

Rozważamy teraz ciąg (b_n), który jest arytmetyczny.  Niech r oznacza różnicę tego ciągu. O tym ciągu wiemy, że suma dwudziestu pięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa sumie wszystkich wyrazów ciągu (a_n). 

Korzystając ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego, tj.

$S=\frac{a_1}{1-q},q\in \left(-1;1\right)$  

obliczamy sumę wszystkich wyrazów ciągu (a_n).

$S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{625}{1-\frac{2}{5}}=\frac{675}{\frac{3}{5}}={\cancel{675}}^{225}\cdot \frac{5}{{\cancel{3}}_1}=1125$

Korzystamy ze wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i zapisujemy sumę dwudziestu pięciu początkowych wyrazów tego ciągu, czyli S₂₅

$S_{25}=\frac{2b_1+24r}{2}\cdot 25=\left(b_1+12r\right)\cdot 25$  

Wiemy, że 

$S=S_{25}$  

czyli

$\left(b_1+12r\right)\cdot 25=1125\mid :25$  

Czyli

$b_1+12r=45$  

---

O ciągu (b_n) wiadomo również, że

$a_3=b_4$  

Ze wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego obliczamy a₃.

$a_3=a_1\cdot q^2=675\cdot {\left(\frac{2}{5}\right)}^2={\cancel{675}}^{27}\cdot \frac{4}{{\cancel{25}}_1}=27\cdot 4=108$

Z kolei, ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego, mamy: 

$b_4=b_1+3r$   

Stąd

$b_1+3r=108$  

---

Otrzymaliśmy dwa równania (zaznaczone kolorem czerwonym). Budujemy z nich układ równań i wyznaczamy z niego b₁. 

$\{\begin{array}{l}{b}_1+12r=45\\ b_1+3r=108\end{array}$  

Rozwiązujemy powyższy układ metodą podstawiania. Mamy wyznaczyć wyłącznie b₁, zatem powyższy układ przekształcamy w ten sposób, aby przy niewiadomej r w równaniach były przeciwne współczynniki. 

$\{\begin{array}{l}{b}_1+12r=45\\ b_1+3r=108\mid \cdot \left(-4\right)\end{array}$  

$\underline{+\{\begin{array}{l}{b}_1+12r=45\\ -4b_1-12r=-432\end{array}}$  

$-3b_1=-387\mid :\left(-3\right)$  

Stąd otrzymujemy, że 

$\underline{\underline{b_1=129}}$  

---

Odp.: Pierwszy wyraz ciągu (b_n) jest równy b₁=129.