Rozważamy trójkąt prostokątny. Przyjmujemy oznaczenia takie jak na rysunku:

Rysunek:

Mamy obliczyć wartość wyrażenia

$\sqrt{{\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha }$  

---

Z twierdzenia Pitagorasa wyznaczamy długość drugiej przyprostokątnej:

$a^2+{12}^2={13}^2$  

$a^2+144=169$  

$a^2=169-144$  

$a^2=25,a>0$  

Stąd

$a=5$  

Korzystamy z definicji funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym i otrzymujemy:

$\sin \alpha =\frac{5}{13}$  

$\cos \alpha =\frac{12}{13}$  

Zatem

$\sqrt{{\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha }=\sqrt{{\left(\frac{12}{13}\right)}^2-{\left(\frac{5}{13}\right)}^2}=\sqrt{\frac{144}{169}-\frac{25}{169}}=\sqrt{\frac{119}{169}}=\underline{\underline{\frac{\sqrt{119}}{13}}}$  

---

Odp. D