Rozważamy zbiór liczb naturalnych:

$\left\{1,2,3,\dots ,3n\right\}$  

Losujemy z powyższego zbioru jedną liczbę. Stąd

$\left|\Omega \right|=3n$  

Wylosowaną liczbę podnosimy do kwadratu, a następnie wyznaczamy resztę z dzielenia przez 3 tego kwadratu.

---

Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia

A - reszta z dzielenia przez 3 kwadratu wylosowanej liczby jest równa 1. 

Reszta z dzielenia przez 3 dowolnej liczby naturalnej jest równa 0, 1 lub 2. W zbiorze 3n elementowym jest po n liczb, które dają z dzielenia przez 3 resztę odpowiednio 0, 1 lub 2. 

Rozważamy trzy przypadki

I przypadek: 

Liczba przy dzieleniu przez 3 daje resztę 0, czyli jest postaci 3k. W rozważanym zbiorze mamy n takich liczb.

Kwadrat tej liczby jest równy

${\left(3k\right)}^2=9k^2=3\cdot 3k^2$  

Zatem reszta z dzielenia kwadratu tej liczby przez 3 jest równa 0.

II przypadek: 

Liczba przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1, czyli jest postaci 3k+1. W rozważanym zbiorze mamy n takich liczb.

Kwadrat tej liczby jest równy

${\left(3k+1\right)}^2=9k^2+6k+1=3\left(3k^2+2k\right)+1$   

Zatem reszta z dzielenia kwadratu tej liczby przez 3 jest równa 1.

III przypadek: 

Liczba przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2, czyli jest postaci 3k+2. W rozważanym zbiorze mamy n takich liczb.

Kwadrat tej liczby jest równy

${\left(3k+2\right)}^2=9k^2+12k+4=9k^2+12k+3+1=3\left(3k^2+4k+1\right)+1$  

Zatem reszta z dzielenia kwadratu tej liczby przez 3 jest równa 1.

---

Otrzymaliśmy, że w zbiorze liczb {1, 2, 3,...,3n} jest

• n liczb, których kwadrat przy dzieleniu przez 3 daje resztę 0,
• 2n liczb, których kwadrat przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1,
• 0 liczb, których kwadrat przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2.

Stąd mamy, że

$\left|A\right|=2n$  

Zatem

$P\left(A\right)=\frac{\left|A\right|}{\left|\Omega \right|}=\frac{2n}{3n}=\underline{\underline{\frac{2}{3}}}$  

---

Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia

B - kwadrat wylosowanej liczby przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2. 

Zauważmy, że kwadrat żadnej liczby przy dzieleniu przez 3 nie daje reszty 2, stąd

$\left|B\right|=0$  

Zdarzenie B jest zdarzeniem niemożliwym, zatem

$\underline{\underline{P\left(B\right)=0}}$