Rozważamy funkcję f określoną wzorem

$f\left(x\right)=\frac{4x}{4x+6}$

Dziedziną funkcji f jest zbiór

$D:x\in \left(-\infty ;-\frac{3}{2}\right)$

Teza:

Funkcja f jest rosnąca.

---

Dowód:

Funkcja f jest różniczkowalna w swojej dziedzinie. Wyznaczamy pochodną funkcji f. Korzystamy ze wzoru na pochodną ilorazu, tj.

${\left[\frac{g\left(x\right)}{h\left(x\right)}\right]}^{{}^{\prime }}=\frac{g^{\prime }\left(x\right)\cdot h\left(x\right)-g\left(x\right)\cdot h^{\prime }\left(x\right)}{{\left[h\left(x\right)\right]}^2},h\left(x\right)\ne 0$

Otrzymujemy:

$f^{\prime }\left(x\right)=\frac{{\left(4x\right)}^{\prime }\cdot \left(4x+6\right)-4x\cdot {\left(4x+6\right)}^{\prime }}{{\left(4x+6\right)}^2}=\frac{4\cdot \left(4x+6\right)-4x\cdot 4}{{\left(4x+6\right)}^2}=$

$=\frac{16x+24-16x}{{\left(4x+6\right)}^2}=\frac{24}{{\left(4x+6\right)}^2}$

Zauważmy, że dla dowolnej rzeczywistej liczby x należącej do dziedziny pochodna funkcji f przyjmuje wartość dodatnią, To oznacza, że funkcja f jest rosnąca w całej swojej dziedzinie,

co należało wykazać.