Rozważamy trójkąt równoramienny, w który wpisano okrąg. Punkt styczności dzieli każde z ramion trapezu na odcinki o długości 2 i 3.

Sporządzamy rysunek pomocniczy. Przyjmujemy oznaczenia takie jak na rysunku.

---

Rysunek:

Zauważmy, że z twierdzenia o odcinkach stycznych do okręgu mamy, że

$\left|BD\right|=|BE|=2$  

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym BDC i wyznaczamy długość odcinka CD, czyli wysokość trójkąta ABC.

${\left|CD\right|}^2+{\left|BD\right|}^2={\left|BC\right|}^2$  

$h^2+2^2=5^2$  

$h^2+4=25$  

$h^2=21\wedge h>0$  

Stąd wysokość trójkąta ABC jest równa

$h=\sqrt{21}$  

---

Zauważmy, że 

$h=\left|CO\right|+\left|OD\right|$  

Czyli

$\sqrt{21}=\left|CO\right|+r$  

Stąd

$\left|CO\right|=\sqrt{21}-r$  

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym CEO otrzymujemy:

${|CE|}^2+{\left|OE\right|}^2={\left|CO\right|}^2$  

Czyli

$3^2+r^2={\left(\sqrt{21}-r\right)}^2$  

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy:

$9+r^2=21-2\sqrt{21}+r^2\mid -r^2$

$9=21-2\sqrt{21}r$  

$2\sqrt{21}r=21-9$  

$2\sqrt{21}r=12$  

Stąd

$r=\frac{12}{2\sqrt{21}}=\frac{6}{\sqrt{21}}$  

Usuwamy niewymierność z mianownika ułamka i obliczamy promień okręgu wpisanego w trójkąt ABC.

$r=\frac{6}{\sqrt{21}}\cdot \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}}=\frac{{\cancel{6}}^2\sqrt{21}}{{\cancel{21}}_7}=\underline{\underline{\frac{2}{7}\sqrt{21}}}$