Przypomnijmy, że podstawą ostrosłupa prawidłowego jest kwadrat, a ściany boczne są przystającymi trójkątami równoramiennymi.

---

Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym rysunku:

Ze wzoru na przekątną kwadratu:

$\left|AC\right|=\left|AB\right|\cdot \sqrt{2}$  

$\left|AC\right|=a\sqrt{2}$  

 

Z zależności między długościami boków w trójkącie o kątach 45°, 45°, 90° (trójkąt ACW):

$\left|AC\right|=\left|AW\right|\cdot \sqrt{2}$  

$\left|AC\right|=12\sqrt{2}$  

 

Z powyższych:

$a\sqrt{2}=12\sqrt{2}\mid :\sqrt{2}$  

$a=12$  

 

Ze wzoru na wysokość trójkąta prostokątnego poprowadzoną z wierzchołka kąta prostego:

$\left|WS\right|=\frac{\left|AW\right|\cdot \left|WC\right|}{\left|AC\right|}=\frac{12\cdot 12}{12\sqrt{2}}=\frac{12}{\sqrt{2}}=\frac{12}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{12\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2}$  

 

Obliczamy objętość tego ostrosłupa:

$V=\frac{1}{3}\cdot \underset{\text{pole podstawy}}{\underbrace{{12}^2}}\cdot \underset{\text{wysokosˊcˊ}}{\underbrace{6\sqrt{2}}}=\frac{1}{{\cancel{3}}^1}\cdot 144\cdot {\cancel{6}}^2\sqrt{2}=\underline{\underline{288\sqrt{2}\left[{\text{cm}}^3\right]}}$