Przypomnijmy, że: Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest trójkąt równoboczny. Ostrosłup prawidłowy trójkątny, którego wszystkie ściany boczne są trójkątami równobocznymi nazywamy czworościanem foremnym. Wysokości trójkąta równobocznego przecinają się w stosunku 2:1 licząc od wierzchołka.

---

Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym rysunku:

α - kąt nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy

β - kąt dwuścienny między sąsiednimi ścianami

---

a)

Obliczymy tangens kąta nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy, czyli tg α.

Spójrzmy na trójkąt ASW:

$\text{tg}\alpha =\frac{H}{2x}$  

 

Ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego (wysokość AE trójkąta równobocznego ABC):

$2x+x=\frac{a\sqrt{3}}{2}$  

$3x=\frac{a\sqrt{3}}{2}\mid \cdot \frac{1}{3}$  

$x=\frac{a\sqrt{3}}{6}$  

Stąd:

$2x=2\cdot \frac{a\sqrt{3}}{6}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$  

 

Z twierdzenia Pitagorasa (trójkąt ASW):

${\left(2x\right)}^2+H^2=a^2$  

${\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)}^2+H^2=a^2$  

$\frac{a^2\cdot 3}{9}+H^2=a^2$  

$\frac{a^2}{3}+H^2=a^2$  

$H^2=a^2-\frac{a^2}{3}$  

$H^2=\frac{3a^2}{3}-\frac{a^2}{3}$   

$H^2=\frac{2a^2}{3}$  

Długości odcinków są dodatnie, więc:

$H=\sqrt{\frac{2a^2}{3}}$  

$H=\frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{3}}$  

$H=\frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$  

$H=\frac{\sqrt{6}a}{3}$  

 

Zatem:

$\text{tg}\alpha =\frac{\frac{\sqrt{6}a}{3}}{\frac{a\sqrt{3}}{3}}=\frac{\sqrt{6}a}{3}\cdot \frac{3}{a\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}=\underline{\underline{\sqrt{2}}}$  

---

b)

Obliczymy cosinus kąta dwuściennego między sąsiednimi ścianami, czyli cos β.

 

Zauważmy, że EW to wysokość trójkąta równobocznego o boku a, więc:

$\left|EW\right|=\frac{a\sqrt{3}}{2}$  

 

Spójrzmy na trójkąt ESW:

$\cos \beta =\frac{x}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}$  

 

Z podpunktu a) wiemy, że:

$x=\frac{a\sqrt{3}}{6}$  

 

Zatem:

$\cos \beta =\frac{\frac{a\sqrt{3}}{6}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{a\sqrt{3}}{6}\cdot \frac{2}{a\sqrt{3}}=\frac{2}{6}=\underline{\underline{\frac{1}{3}}}$