Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym rysunku:

Zauważmy, że AC i BD to przekątne rombu, więc:

$\left|\sphericalangle ASD\right|={90}^{\circ }$  

$\left|AS\right|=\left|SC\right|=\frac{1}{2}\cdot \left|AC\right|$  

$\left|BS\right|=\left|SD\right|=\frac{1}{2}\cdot \left|BD\right|$  

$\left|\sphericalangle SAD\right|=\left|\sphericalangle SAB\right|=\frac{1}{2}\cdot \left|\sphericalangle DAB\right|=\frac{\alpha }{2}$  

---

a)

Obliczymy miarę kąta ostrego rombu, czyli α.

 

Spójrzmy na trójkąt ASD:

$\cos \frac{\alpha }{2}=\frac{\left|AS\right|}{\left|AD\right|}$  

$\cos \frac{\alpha }{2}=\frac{\left|AS\right|}{5\sqrt{3}}$  

 

Z twierdzenia Pitagorasa (trójkąt ACC₁):

${\left|AC\right|}^2+{\left|C{C}_1\right|}^2={\left|A{C}_1\right|}^2$  

${\left|AC\right|}^2+8^2={17}^2$  

${\left|AC\right|}^2+64=289$  

${\left|AC\right|}^2=289-64$  

${\left|AC\right|}^2=225$  

Długości odcinków są dodatnie, więc:

$\left|AC\right|=\sqrt{225}$  

$\left|AC\right|=15$  

 

Stąd:

$\left|AS\right|=\frac{1}{2}\cdot 15=\frac{15}{2}$  

 

Zatem:

$\cos \frac{\alpha }{2}=\frac{\frac{15}{2}}{5\sqrt{3}}$  

$\cos \frac{\alpha }{2}=\frac{{\cancel{15}}^3}{2}\cdot \frac{1}{{\cancel{5}}^1\sqrt{3}}$  

$\cos \frac{\alpha }{2}=\frac{3}{2\sqrt{3}}$  

$\cos \frac{\alpha }{2}=\frac{3}{2\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$  

$\cos \frac{\alpha }{2}=\frac{{\cancel{3}}^1\sqrt{3}}{2\cdot {\cancel{3}}^1}$  

$\cos \frac{\alpha }{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$  

Stąd:

$\frac{\alpha }{2}={30}^{\circ }\mid \cdot 2$  

$\alpha =\underline{\underline{{60}^{\circ }}}$  

---

b)

Obliczymy długość krótszej przekątnej tego graniastosłupa, czyli długość odcinka BD₁.

 

Z podpunktu a) wiemy, że:

$\alpha ={60}^{\circ }$  

 

Zauważmy, że trójkąt ABD jest równoboczny (trójkąt równoramienny (|AB|=|AD|=5√3), kąt między ramionami ma 60°, więc dwa pozostałe kąty mają po 60°), zatem:

$\left|BD\right|=5\sqrt{3}$  

 

Z twierdzenia Pitagorasa (trójkąt BDD₁):

${\left|B{D}_1\right|}^2={\left|BD\right|}^2+{\left|D{D}_1\right|}^2$  

${\left|B{D}_1\right|}^2={\left(5\sqrt{3}\right)}^2+8^2$  

${\left|B{D}_1\right|}^2=25\cdot 3+64$  

${\left|B{D}_1\right|}^2=75+64$  

${\left|B{D}_1\right|}^2=139$  

Długości odcinków są dodatnie, więc:

$\left|B{D}_1\right|=\underline{\underline{\sqrt{139}\left[\text{cm}\right]}}$