Definicja logarytmu: $\text{Jesˊli}a>0,a\ne 1\text{i}b>0,\text{to}\left({\log }_{a}b=c\iff a^c=b\right).$     Przypomnijmy, że: $\left(1\right)r\cdot {\log }_{a}x={\log }_a{x}^r$   $\left(2\right){\log }_{a}x+{\log }_{a}y={\log }_a\left(x\cdot y\right)$

---

Wiemy, że:

${\log }_{3}4=a$  

 

Zauważmy, że:

${\log }_3\sqrt[3]{432}={\log }_3{432}^{\frac{1}{3}}=$  

Korzystamy z (1):

$=\frac{1}{3}\cdot {\log }_{3}432=$  

$=\frac{1}{3}\cdot {\log }_3\left(2^4\cdot 3^3\right)=$  

Korzystamy z (2):

$=\frac{1}{3}\cdot \left({\log }_3{2}^4+{\log }_3{3}^3\right)=$  

$=\frac{1}{3}\cdot \left({\log }_3{\left(2^2\right)}^2+3\right)=$  

$=\frac{1}{3}\cdot \left({\log }_3{4}^2+3\right)=$  

Korzystamy z (1):

$=\frac{1}{3}\cdot \left(2{\log }_{3}4+3\right)=$  

Podstawiamy i otrzymujemy:

$=\frac{1}{3}\cdot \left(2a+3\right)=$  

$=\frac{2}{3}a+1$  

---

Odpowiedź: C.