Przypomnijmy, że funkcją logarytmiczną nazywamy funkcję, którą można opisać wzorem: $f\left(x\right)={\log }_{a}x,\text{gdzie}a\in {\mathbb{R}}_{+}\backslash \left\{1\right\},x\in {\mathbb{R}}_{+}$

Przypomnijmy, że jeśli wykres funkcji y=f(x): przesuniemy równolegle o wektor [p, q], to otrzymamy wykres funkcji y=f(x-p)+q, przekształcimy przez symetrię osiową względem osi OX, to otrzymamy wykres funkcji y=-f(x), przekształcimy przez symetrię osiową względem osi OY, to otrzymamy wykres funkcji y=f(-x).

---

a)

Rozwiązujemy graficznie nierówność:

${\log }_2\left(x-2\right)-1\ge 4x-x^2\left(\text{*}\right)$  

 

Niech:

$f\left(x\right)={\log }_2\left(x-2\right)-1$  

$g\left(x\right)=4x-x^2$  

 

Wykres funkcji f otrzymamy, jeśli:

1) naszkicujemy wykres funkcji h(x)=log₂ x,

2) przesuniemy równolegle wykres funkcji h(x)=log₂ x o 2 jednostki w prawo wzdłuż osi OX i 1 jednostkę w dół wzdłuż osi OY, czyli o wektor [2, -1].

 

$x$	$\frac{1}{2}$	$1$	$2$	$4$
$h\left(x\right)$	$-1$	$0$	$1$	$2$

 

 

Naszkicujemy wykres funkcji kwadratowej:

$g\left(x\right)=4x-x^2$  

Wykresem funkcji g jest parabola z ramionami skierowanymi do dołu (współczynnik przy x² jest ujemny).

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji g:

$4x-x^2=0$  

$x\left(4-x\right)=0$  

$x=0\text{lub}4-x=0$  

$x=0\text{lub}x=4$  

Wyznaczamy pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli:

$x_w=\frac{0+4}{2}=\frac{4}{2}=2$  

Wyznaczamy drugą współrzędną wierzchołka paraboli:

$f\left(x_w\right)=f\left(2\right)=4\cdot 2-2^2=8-4=4$  

 

 

Otrzymujemy więc, że:

 

Z rysunku odczytujemy, że wykresy funkcji f i g przecinają się w jednym punkcie: (4, 0).

Sprawdzamy poprawność odczytu:

$f\left(4\right)={\log }_2\left(4-2\right)-1={\log }_{2}2-1=1-1=0$  

$g\left(4\right)=4\cdot 4-4^2=16-16=0$  

$f\left(4\right)=g\left(4\right)$  

Rozwiązaniem nierówności (*), czyli nierówności:

$f\left(x\right)\ge g\left(x\right)$  

jest:

$\underline{\underline{x\in ⟨4,+\infty )}}$  

---

b)

Rozwiązujemy graficznie nierówność:

$1-{\log }_{\frac{1}{2}}x>\frac{4}{x}\left(\text{*}\right)$  

 

Niech:

$f\left(x\right)=1-{\log }_{\frac{1}{2}}x$  

$g\left(x\right)=\frac{4}{x}$  

 

Wykres funkcji f otrzymamy, jeśli:

1) naszkicujemy wykres funkcji h(x)=log_1/2 x,

2) przekształcimy wykres funkcji h(x)=log_1/2 x przez symetrię osiową względem osi OX

- otrzymamy wykres funkcji t(x)=-log_1/2 x,

3) przesuniemy równolegle wykres funkcji t(x)=-log_1/2 x o 1 jednostkę w górę wzdłuż osi OY, czyli o wektor [0, 1].

 

$x$	$\frac{1}{2}$	$1$	$2$	$4$
$h\left(x\right)$	$1$	$0$	$-1$	$-2$

 

 

Naszkicujemy wykres funkcji:

$g\left(x\right)=\frac{4}{x}$  

 

$x$	$-4$	$-2$	$-1$	$1$	$2$	$4$
$g\left(x\right)$	$-1$	$-2$	$-4$	$4$	$2$	$1$

 

 

Otrzymujemy więc, że:

 

Z rysunku odczytujemy, że wykresy funkcji f i g przecinają się w jednym punkcie: (2, 2).

Sprawdzamy poprawność odczytu:

$f\left(2\right)=1-{\log }_{\frac{1}{2}}2=1-\left(-1\right)=1+1=2$  

$g\left(2\right)=\frac{4}{2}=2$  

$f\left(2\right)=g\left(2\right)$  

Rozwiązaniem nierówności (*), czyli nierówności:

$f\left(x\right)>g\left(x\right)$  

jest:

$\underline{\underline{x\in \left(2,+\infty \right)}}$  

---

c)

Rozwiązujemy graficznie nierówność:

$2+{\log }_{\frac{1}{2}}\left(x+2\right)>-\left|x-2\right|\left(\text{*}\right)$  

 

Niech:

$f\left(x\right)=2+{\log }_{\frac{1}{2}}\left(x+2\right)$  

$g\left(x\right)=-\left|x-2\right|$  

 

Wykres funkcji f otrzymamy, jeśli:

1) naszkicujemy wykres funkcji h(x)=log_1/2 x,

2) przesuniemy równolegle wykres funkcji h(x)=log_1/2 x o 2 jednostki w lewo wzdłuż osi OX i 2 jednostki w górę wzdłuż osi OY, czyli o wektor [-2, 2].

 

$x$	$\frac{1}{2}$	$1$	$2$	$4$
$h\left(x\right)$	$1$	$0$	$-1$	$-2$

 

 

Wykres funkcji g otrzymamy, jeśli:

1) naszkicujemy wykres funkcji s(x)=|x|,

2) przesuniemy równolegle wykres funkcji s(x)=|x| o 2 jednostki w prawo wzdłuż osi OX, czyli o wektor [2, 0]

- otrzymamy wykres funkcji t(x)=|x-2|,

3) przekształcimy wykres funkcji t(x)=|x-2| przez symetrię osiową względem osi OX.

 

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$s\left(x\right)$	$2$	$1$	$0$	$1$	$2$

 

Otrzymujemy więc, że:

 

Z rysunku odczytujemy, że wykresy funkcji f i g przecinają się w jednym punkcie: (2, 0).

Sprawdzamy poprawność odczytu:

$f\left(2\right)=2+{\log }_{\frac{1}{2}}\left(2+2\right)=2+{\log }_{\frac{1}{2}}4=2+\left(-2\right)=0$  

$g\left(2\right)=-\left|2-2\right|=-\left|0\right|=0$  

$f\left(2\right)=g\left(2\right)$  

Rozwiązaniem nierówności (*), czyli nierówności:

$f\left(x\right)>g\left(x\right)$  

jest:

$\underline{\underline{x\in \left(-2,2\right)\cup \left(2,+\infty \right)}}$  

---

d)

Rozwiązujemy graficznie nierówność:

${\log }_3\left(-x\right)-1>\frac{-x-5}{4}\left(\text{*}\right)$  

 

Niech:

$f\left(x\right)={\log }_3\left(-x\right)-1$  

$g\left(x\right)=\frac{-x-5}{4}$  

 

Wykres funkcji f otrzymamy, jeśli:

1) naszkicujemy wykres funkcji h(x)=log₃ x,

2) przekształcimy wykres funkcji h(x)=log₃ x przez symetrię osiową względem osi OY

- otrzymamy wykres funkcji t(x)=log₃ (-x),

3) przesuniemy równolegle wykres funkcji t(x)=log₃ (-x) o 1 jednostkę w dół wzdłuż osi OY, czyli o wektor [0, -1].

 

$x$	$\frac{1}{3}$	$1$	$3$	$9$
$h\left(x\right)$	$-1$	$0$	$1$	$2$

 

 

Naszkicujemy wykres funkcji liniowej:

$g\left(x\right)=\frac{-x-5}{4}$  

 

$x$	$-5$	$-1$
$g\left(x\right)$	$0$	$-1$

 

 

Otrzymujemy więc, że:

 

Z rysunku odczytujemy, że wykresy funkcji f i g przecinają się w dwóch punktach: (-9, 1), (-1, -1).

Sprawdzamy poprawność odczytu:

$f\left(-9\right)={\log }_3\left(-\left(-9\right)\right)-1={\log }_{3}9-1=2-1=1$  

$g\left(-9\right)=\frac{-\left(-9\right)-5}{4}=\frac{9-5}{4}=\frac{4}{4}=1$  

$f\left(-9\right)=g\left(-9\right)$  

$f\left(-1\right)={\log }_3\left(-\left(-1\right)\right)-1={\log }_{3}1-1=0-1=-1$  

$g\left(-1\right)=\frac{-\left(-1\right)-5}{4}=\frac{1-5}{4}=\frac{-4}{4}=-1$  

$f\left(-1\right)=g\left(-1\right)$  

Rozwiązaniem nierówności (*), czyli nierówności:

$f\left(x\right)>g\left(x\right)$  

jest:

$\underline{\underline{x\in \left(-9,-1\right)}}$