Definicja logarytmu: $\text{Jesˊli}a>0,a\ne 1\text{i}b>0,\text{to}\left({\log }_{a}b=c\iff a^c=b\right).$   Własność logarytmów, która przyda się w tym zadaniu: $\left(0\right)a^{{\log }_{a}b}=b$   Prawa działań na logarytmach, które przydadzą się w tym zadaniu: $\left(1\right){\log }_{a}x+{\log }_{a}y={\log }_a\left(x\cdot y\right)$   $\left(2\right){\log }_{a}x-{\log }_{a}y={\log }_a\frac{x}{y}$   $\left(3\right)r\cdot {\log }_{a}x={\log }_a{x}^r$

---

a)

I SPOSÓB:

${100}^{1+\log 5}=$  

$={100}^1\cdot {100}^{\log 5}=$  

$=100\cdot {\left({10}^2\right)}^{\log 5}=$  

$=100\cdot {10}^{2\log 5}=$  

Korzystamy z (3) i otrzymujemy, że:

$=100\cdot {10}^{\log 5^2}=$  

$=100\cdot {10}^{\log 25}=$  

Korzystamy z (0) i otrzymujemy, że:

$=100\cdot 25=$  

$=\underline{\underline{2500}}$  

 

II SPOSÓB:

${100}^{1+\log 5}=\dots$  

Zauważmy, że:

$1=\log {10}^1=\log 10$  

Zatem:

$\dots ={100}^{\log 10+\log 5}=$  

Korzystamy z (1) i otrzymujemy, że:

$={100}^{\log \left(10\cdot 5\right)}=$  

$={100}^{\log 50}=$  

$={\left({10}^2\right)}^{\log 50}=$  

$={10}^{2\log 50}=$  

Korzystamy z (3) i otrzymujemy, że:

$={10}^{\log {50}^2}=$  

$={10}^{\log 2500}=$  

Korzystamy z (0) i otrzymujemy, że:

$=\underline{\underline{2500}}$  

---

b)

$8^{{\log }_{2}5-\frac{1}{3}}=$  

$={\left(2^3\right)}^{{\log }_{2}5-\frac{1}{3}}=$  

$=2^{3\left({\log }_{2}5-\frac{1}{3}\right)}=$  

$=2^{3{\log }_{2}5-1}=\dots$  

Zauważmy, że:

$1={\log }_2{2}^1={\log }_{2}2$  

Zatem:

$\dots =2^{3{\log }_{2}5-{\log }_{2}2}=$  

Korzystamy z (3) i otrzymujemy, że:

$=2^{{\log }_2{5}^3-{\log }_{2}2}=$  

$=2^{{\log }_{2}125-{\log }_{2}2}=$  

Korzystamy z (2) i otrzymujemy, że:

$=2^{{\log }_2\frac{125}{2}}=$  

Korzystamy z (0) i otrzymujemy, że:

$=\frac{125}{2}=$  

$=\underline{\underline{62\frac{1}{2}}}$  

---

c)

$4^{-1+{\log }_{2}3}=$  

$=4^{-1}\cdot 4^{{\log }_{2}3}=$  

$=\frac{1}{4}\cdot {\left(2^2\right)}^{{\log }_{2}3}=$  

$=\frac{1}{4}\cdot 2^{2{\log }_{2}3}=$  

Korzystamy z (3) i otrzymujemy, że:

$=\frac{1}{4}\cdot 2^{{\log }_2{3}^2}=$  

$=\frac{1}{4}\cdot 2^{{\log }_{2}9}=$  

Korzystamy z (0) i otrzymujemy, że:

$=\frac{1}{4}\cdot 9=$  

$=\frac{9}{4}=$  

$=\underline{\underline{2\frac{1}{4}}}$  

---

d)

${16}^{{\log }_2\sqrt{3}+0,25}=$  

$={16}^{{\log }_2\sqrt{3}}\cdot {16}^{0,25}=$  

$={\left(2^4\right)}^{{\log }_2\sqrt{3}}\cdot {16}^{\frac{1}{4}}=$  

$=2^{4{\log }_2\sqrt{3}}\cdot \sqrt[4]{16}=$  

Korzystamy z (3) i otrzymujemy, że:

$=2^{{\log }_2{\left(\sqrt{3}\right)}^4}\cdot 2=$  

$=2^{{\log }_{2}9}\cdot 2=$  

Korzystamy z (0) i otrzymujemy, że:

$=9\cdot 2=$  

$=\underline{\underline{18}}$  

---

e)

${\left(\frac{1}{5}\right)}^{{\log }_{5}0,25+1}=$  

$={\left(\frac{1}{5}\right)}^{{\log }_{5}0,25}\cdot {\left(\frac{1}{5}\right)}^1=$  

$={\left(5^{-1}\right)}^{{\log }_5\frac{1}{4}}\cdot \frac{1}{5}=$  

$=5^{-{\log }_5\frac{1}{4}}\cdot \frac{1}{5}=$  

Korzystamy z (3) i otrzymujemy, że:

$=5^{{\log }_5{\left(\frac{1}{4}\right)}^{-1}}\cdot \frac{1}{5}=$  

$=5^{{\log }_{5}4}\cdot \frac{1}{5}=$  

Korzystamy z (0) i otrzymujemy, że:

$=4\cdot \frac{1}{5}=$  

$=\underline{\underline{\frac{4}{5}}}$  

---

f)

${\left(\frac{4}{9}\right)}^{{\log }_{\frac{2}{3}}5-\frac{1}{2}}=$  

$={\left(\frac{4}{9}\right)}^{{\log }_{\frac{2}{3}}5}\cdot {\left(\frac{4}{9}\right)}^{-\frac{1}{2}}=$  

$={\left({\left(\frac{2}{3}\right)}^2\right)}^{{\log }_{\frac{2}{3}}5}\cdot {\left(\frac{9}{4}\right)}^{\frac{1}{2}}=$  

$={\left(\frac{2}{3}\right)}^{2{\log }_{\frac{2}{3}}5}\cdot \sqrt{\frac{9}{4}}=$  

Korzystamy z (3) i otrzymujemy, że:

$={\left(\frac{2}{3}\right)}^{{\log }_{\frac{2}{3}}{5}^2}\cdot \frac{3}{2}=$  

$={\left(\frac{2}{3}\right)}^{{\log }_{\frac{2}{3}}25}\cdot \frac{3}{2}=$  

Korzystamy z (0) i otrzymujemy, że:

$=25\cdot \frac{3}{2}=$  

$=\frac{75}{2}=$  

$=\underline{\underline{37\frac{1}{2}}}$