a)

Rozwiążemy nierówność 

${0,7}^{2+4+6+\dots +2n}\ge {0,7}^{12},n\in {\mathbb{N}}_{+}$  

podstawą potęgi jest liczba mniejsza od 1, zatem porównując wykładniki, znak nierówności zmieniamy na przeciwny, czyli mamy

$2+4+6+\dots +2n\le 12$  

Zauważmy, że wyrażenie 2+4+6+...+2n jest sumą n kolejnych początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (a_k) o wyrazie ogólnym a_k =2n, k ∈ N₊. Korzystając ze wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego otrzymujemy:

$2+4+6+\dots +2n=\frac{2+2n}{2}\cdot n=\frac{2\left(n+1\right)}{2}\cdot n=\left(n+1\right)\cdot n=n^2+n$  

Zatem nierówność możemy zapisać w postaci 

$n^2+n\le 12$  

$n^2+n-12\le 0$  

$\Delta =1^2-4\cdot 1\cdot \left(-12\right)=1+48=49$  

$\sqrt{\Delta }=7$  

$n_1=\frac{-1-7}{2}=-4$  

$n_2=\frac{-1+7}{2}=3$  

korzystając z rysunku i uwzględniając założenie mamy 

$n\in ⟨-4,3⟩\wedge n\in {\mathbb{N}}_{+}$  

więc rozwiązaniem nierówności jest zbiór

$n\in \left\{1,2,3\right\}$  

---

b)

Rozwiążemy nierówność 

$2^5\cdot 2^8\cdot 2^{11}\cdot \dots \cdot 2^{3n+2}<{16}^{31},n\in {\mathbb{N}}_{+}$  

Przekształcamy nierówność korzystając z praw działań na potęgach i otrzymujemy 

$2^{5+8+11+\dots +\left(3n+2\right)}<{\left(2^4\right)}^{31}$  

$2^{5+8+11+\dots +\left(3n+2\right)}<2^{124}$  

podstawą potęgi jest liczba większa od 1, zatem porównując wykładniki, znak nierówności pozostawiamy bez zmiany, czyli 

$5+8+11+\dots +\left(3n+2\right)<124$  

Zauważmy, że wyrażenie 5+8+11+...+(3n+2) jest sumą n kolejnych początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (a_k) o wyrazie ogólnym a_k = 3k+2, k ∈ N₊. Korzystając ze wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego otrzymujemy:

$5+8+11+\dots +\left(3n+2\right)=\frac{5+\left(3n+2\right)}{2}\cdot n=\frac{3n+7}{2}\cdot n=\frac{3n^2+7n}{2}$  

Zatem nierówność możemy zapisać w postaci 

$\frac{3n^2+7n}{2}<124\mid \cdot 2$

$3n^2+7n<248\mid -248$  

$3n^2+7n-248<0$  

$\Delta =7^2-4\cdot 3\cdot \left(-248\right)=49+2976=3025$  

$\sqrt{\Delta }=55$  

$n_1=\frac{-7-55}{2\cdot 3}=-\frac{31}{3}$  

$n_2=\frac{-7+55}{2\cdot 3}=8$  

 

korzystając z rysunku i uwzględniając założenie mamy 

$n\in \left(-\frac{31}{3},8\right)\wedge n\in {\mathbb{N}}_{+}$  

więc rozwiązaniem nierówności jest zbiór

$n\in \left\{1,2,3,4,5,6,7\right\}$