Przypomnijmy, że  Logarytmem z liczby dodatniej b, przy dodatniej i różnej od jedności podstawie a nazywamy liczbę c, do której należy podnieść podstawię a, aby otrzymać liczbę b. Innymi słowy: ${\log }_{a}b=c\iff a^c=b,\text{gdzie}b>0,a>0,a\ne 1$

---

a)

Wyznaczamy dziedzinę równania. Zakładamy, że:

$x^2+3>0$  

Powyższa nierówność jest tożsamościowa, bo kwadrat dowolnej liczby jest nieujemny.

Zatem dziedziną równania jest :

$D=\underline{\underline{\mathbb{R}}}$  

Rozwiązujemy równanie:

${\log }_{\frac{1}{2}}\left(x^2+3\right)=-2$  

Korzystamy z definicji logarytmu i mamy:

${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-2}=x^2+3$  

$4=x^2+3$  

$x^2=1$  

Stąd:

$x=1\in D\vee x=-1\in D$  

Otrzymaliśmy, że równanie ma dwa rozwiązania:

$\underline{\underline{x\in \left\{-1,1\right\}}}$  

---

b) 

Wyznaczamy dziedzinę równania. Zakładamy, że:

$x^2-4>0$  

Rozwiązujemy nierówność. Obliczamy pierwiastki, szkicujemy parabolę  i odczytujemy zbiór rozwiązań. Mamy:

$x^2-4=0$  

$x^2=4$  

$x=2\vee x=-2$  

Otrzymujemy:

$x\in \left(-\infty ,-2\right)\cup \left(2,\infty \right)$  

Zatem dziedziną równania jest :

$D=\underline{\underline{\left(-\infty ,-2\right)\cup \left(2,\infty \right)}}$  

Rozwiązujemy równanie:

${\log }_5\left(x^2-4\right)=1$  

Korzystamy z definicji logarytmu i mamy:

$5^1=x^2-4$  

$x^2=5+4$  

$x^2=9$  

Stąd:

$x=3\in D\vee x=-3\in D$

Otrzymaliśmy, że równanie ma dwa rozwiązania:

$\underline{\underline{x\in \left\{-3,3\right\}}}$  

---

c) 

Wyznaczamy dziedzinę równania. Zakładamy, że:

${\left(3-x\right)}^2>0$  

Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny, zatem powyższa nierówność sprowadza się do:

${\left(3-x\right)}^2\ne 0$  

$3-x\ne 0$  

$x\ne 3$  

Zatem równania jest :

$D=\underline{\underline{\mathbb{R}\backslash \left\{3\right\}}}$  

Rozwiązujemy równanie:

${\log }_5{\left(3-x\right)}^2=2$  

Korzystamy z definicji logarytmu i mamy:

$5^2={\left(3-x\right)}^2$  

$5^2-{\left(3-x\right)}^2=0$  

Stosujemy wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów: a²-b²=(a-b)(a+b) i mamy:

$\left[5-\left(3-x\right)\right]\cdot \left[5+\left(3-x\right)\right]=0$  

$\left(5-3+x\right)\left(5+3-x\right)=0$  

$\left(2+x\right)\left(8-x\right)=0$  

Stąd:

$2+x=0\vee 8-x=0$  

$x=-2\in D\vee x=8\in D$  

Otrzymaliśmy, że równanie ma dwa rozwiązania:

$\underline{\underline{x\in \left\{-2,8\right\}}}$  

---

d) 

Wyznaczamy dziedzinę równania. Zakładamy, że:

$x^2+10x+25>0$  

Zauważmy, że ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy: (a+b)²=a²+2ab+b² mamy:

$x^2+10x+25=x^2+2\cdot 5\cdot x+5^2={\left(x+5\right)}^2$  

Zatem 

${\left(x+5\right)}^2>0$  

Kwadrat  dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny, zatem powyższa nierówność sprowadza się do:

${\left(x+5\right)}^2\ne 0$  

$x+5\ne 0$  

$x\ne -5$  

Zatem równania jest :

$D=\underline{\underline{\mathbb{R}\backslash \left\{-5\right\}}}$  

Rozwiązujemy równanie:

${\log }_{\frac{2}{3}}\left(x^2+10x+25\right)=-2$  

Korzystamy z definicji logarytmu i mamy:

${\left(\frac{2}{3}\right)}^{-2}=x^2+10x+25$  

${\left(\frac{3}{2}\right)}^2={\left(x+5\right)}^2$  

${\left(\frac{3}{2}\right)}^2-{\left(x+5\right)}^2=0$  

Stosujemy wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów: a²-b²=(a-b)(a+b) i mamy:

$\left[\frac{3}{2}-\left(x+5\right)\right]\cdot \left[\frac{3}{2}+\left(x+5\right)\right]=0$  

$\left(\frac{3}{2}-x-5\right)\left(\frac{3}{2}+x+5\right)=0$  

$\left(-\frac{7}{2}-x\right)\left(\frac{13}{2}+x\right)=0$  

Stąd:

$-\frac{7}{2}-x=0\vee \frac{13}{2}+x=0$  

$x=-\frac{7}{2}\vee x=-\frac{13}{2}$  

$x=-3\frac{1}{2}\in D\vee x=-6\frac{1}{2}\in D$  

Otrzymaliśmy, że równanie ma dwa rozwiązania:

$\underline{\underline{x\in \left\{-6\frac{1}{2},-3\frac{1}{2}\right\}}}$  

---

e) 

Wyznaczamy dziedzinę równania. Zakładamy, że:

$x^2+2x>0$  

$x\left(x+2\right)>0$  

Rozwiązujemy nierówność. Obliczamy pierwiastki, szkicujemy parabolę  i odczytujemy zbiór rozwiązań. Mamy:

$x\left(x+2\right)=0$  

$x=0\vee x+2=0$  

$x=0\vee x=-2$  

Otrzymujemy:

$x\in \left(-\infty ,-2\right)\cup \left(0,\infty \right)$  

Zatem dziedziną równania jest :

$D=\underline{\underline{\left(-\infty ,-2\right)\cup \left(0,\infty \right)}}$  

Rozwiązujemy równanie:

${\log }_{\frac{1}{3}}\left(x^2+2x\right)=-1$  

Korzystamy z definicji logarytmu i mamy:

${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-1}=x^2+2x$  

$3=x^2+2x$  

$x^2+2x-3=0$  

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

$\Delta =2^2-4\cdot 1\cdot \left(-3\right)=4+12=16=4^2$

$x_1=\frac{-2-4}{2\cdot 1}=\frac{-6}{2}=-3\in D$  

$x_2=\frac{-2+4}{2\cdot 1}=\frac{2}{2}=1\in D$  

Otrzymaliśmy, że równanie ma dwa rozwiązania:

$\underline{\underline{x\in \left\{-3,1\right\}}}$  

---

f) 

Wyznaczamy dziedzinę równania. Zakładamy, że:

$x-x^2>0$  

$x\left(1-x\right)>0$  

Rozwiązujemy nierówność. Obliczamy pierwiastki, szkicujemy parabolę  i odczytujemy zbiór rozwiązań. Mamy:

$x\left(1-x\right)=0$  

$x=0\vee 1-x=0$  

$x=0\vee x=1$  

Otrzymujemy:

$x\in \left(0,1\right)$  

Zatem dziedziną równania jest :

$D=\underline{\underline{\left(0,1\right)}}$  

Rozwiązujemy równanie:

${\log }_{\sqrt{3}}\left(x-x^2\right)=2$  

Korzystamy z definicji logarytmu i mamy:

${\left(\sqrt{3}\right)}^2=x-x^2$  

$3=x-x^2$  

$x^2-x+3=0$  

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

$\Delta ={\left(-1\right)}^2-4\cdot 1\cdot 3=1-12=-11<0$

Wyróżnik trójmianu jest ujemny, zatem równanie jest sprzeczne.

---