Przypomnijmy podstawowe własności logarytmów: $\text{Jez˙eli}a\in {\mathbb{R}}_{+}\backslash \left\{1\right\},b\in {\mathbb{R}}_{+},r\in \mathbb{R},\text{to}$ : $1.{\log }_{a}a=1$   $2.{\log }_{a}1=0$   $3.{\log }_a{a}^r=r$   $4.a^{{\log }_{a}b}=b$   Ponadto, jeśli dodatkowo  $b\ne 1,x>0$  , to: ${\log }_{a}x=\frac{{\log }_{b}x}{{\log }_{b}a}$   Powyższy wzór nazywamy wzorem na zamianę podstawy logarytmu.

---

Założenie:

$a,b\in {\mathbb{R}}_{+}\backslash \left\{1\right\}$  

Teza:

${\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a}$   

Dowód:

Korzystamy z własności   $1.$   podanej w tabelce i zapisujemy liczbę 1  jako:

$1={\log }_{b}b$   

Wtedy :

$\frac{1}{{\log }_{b}a}=\frac{{\log }_{b}b}{{\log }_{b}a}$  

Korzystając ze wzoru na zamianę podstawy logarytmu, dostajemy:

$\frac{{\log }_{b}b}{{\log }_{b}a}={\log }_{a}b$  

Zatem

${\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a}$  

▉