Rozwiąż nierówności...- Zadanie 3: Matematyka 4. Zakres podstawowy

Rozwiązanie

Przypomnijmy, że:

$Je \overset{z}{˙} eli a \in (0, 1) i x_{1} \in R, x_{2} \in R, to$

$a^{x_{1}} < a^{x_{2}} \Leftrightarrow x_{1} > x_{2}$

$Je \overset{z}{˙} eli a \in (1, \infty) i x_{1} \in R, x_{2} \in R, to$

$a^{x_{1}} < a^{x_{2}} \Leftrightarrow x_{1} < x_{2}$

Rozwiązujemy nierówność:

$(3^{x} - 1) (3^{x} - 9) > 0$

Dziedziną nierówności jest

$D = R$

Wprowadzamy zmienną pomocniczą:

$t = 3^{x}$

i otrzymujemy nierówność kwadratową:

$(t - 1) (t - 9) > 0$

$t - 1 = 0 \lor t - 9 = 0$

$t = 1 \lor t = 9$

Szkicujemy wykres i odczytujemy zbiór rozwiązań tej nierówności:

$t \in (- \infty, 1) \cup (9, \infty)$

Oznacza to, że

$3^{x} < 1 \lor 3^{x} > 9$

$3^{x} < 3^{0} \lor 3^{x} > 3^{2}$

Podstawa potęg po obu stronach nierówności jest większa od 1, zatem porównując wykładniki, znak nierówności pozostawiamy bez zmian.

$x < 0 \lor x > 2$

$x \in (- \infty, 0) \lor x \in (2, \infty)$

Znajdujemy sumę obu otrzymanych zbiorów i tym samym rozwiązanie nierówności

$\underline{\underline{x \in (- \infty, 0) \cup (2, \infty)}}$

Rozwiązujemy nierówność:

$(3^{x} + 1) (3^{x} - 9) \geq 0$

Dziedziną nierówności jest

$D = R$

Wprowadzamy zmienną pomocniczą:

$t = 3^{x}$

i otrzymujemy nierówność kwadratową:

$(t + 1) (t - 9) \geq 0$

$t + 1 = 0 \lor t - 9 = 0$

$t = - 1 \lor t = 9$

Szkicujemy wykres i odczytujemy zbiór rozwiązań tej nierówności:

$t \in (- \infty, - 1 ⟩ \cup ⟨ 9, \infty)$

Oznacza to, że

$3^{x} \leq - 1 \lor 3^{x} \geq 9$

$nier \overset{o}{ˊ} wno \overset{s}{ˊ} \overset{c}{ˊ} sprzeczna 3^{x} \geq 3^{2}$

Zauważamy, że pierwsza nierówność jest sprzeczna, bowiem funkcja wykładnicza y=3^x przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie. W drugiej nierówności, podstawa potęg po obu stronach jest większa od 1, zatem porównując wykładniki, znak nierówności pozostawiamy bez zmian.

$3^{x} \geq 3^{2} \Leftrightarrow x \geq 2$