Wyznacz dziedzinę...- Zadanie 9: Matematyka 4. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Przypomnijmy, że

Jeżeli przekształcimy wykres funkcji y=f(x) w symetrii osiowej względem osi OX, to otrzymamy wykres funkcji y=-f(x)

$y = f (x) \to S_{O X} y = - f (x)$

Jeżeli przekształcimy wykres funkcji y=f(x) w symetrii osiowej względem osi OY, to otrzymamy wykres funkcji y=f(-x)

$y = f (x) \to S_{O Y} y = f (- x)$

Jeżeli przesuniemy równolegle wykres funkcji y = f(x) o wektor [p, q], to otrzymamy wykres funkcji y = f(x-p) +q

$y = f (x) \to u = [p, q] y = f (x - p) + q$

Wyznaczymy dziedzinę funkcji :

$f (x) = lo g_{2} (3 x - x^{2}) - lo g_{2} (3 - x)$

Zakładamy, że

$3 x - x^{2} > 0 \land 3 - x > 0$

$x (3 - x) > 0 \land x < 3$

$x \in (- \infty, 3)$

Rozwiązujemy pierwszą nierówność. Obliczamy pierwiastki, szkicujemy parabolę.

$x (3 - x) = 0$

$x = 0 \lor x = 3$

z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań:

$x \in (0, 3)$

łączymy oba warunki i otrzymujemy dziedzinę funkcji f.

$\underline{\underline{D_{f} = (0, 3)}}$

Przekształcamy wzór funkcji f. Korzystamy przy tym z praw działań na logarytmach.

$f (x) = lo g_{2} (3 x - x^{2}) - lo g_{2} (3 - x) = lo g_{2} [x (3 - x)] - lo g_{2} (3 - x) = lo g_{2} x + lo g_{2} (3 - x) - lo g_{2} (3 - x) = lo g_{2} x$

Otrzymaliśmy:

$f (x) = lo g_{2} x, x \in (0, 3)$

Naszkicujemy wykres funkcji f. Aby to zrobić, narysujemy wykres funkcji logarytmicznej y=log₂x i wybierzemy fragment wykresu, który odpowiada argumentom z przedziału (0, 3).

Obliczamy wartości dla kilku wybranych argumentów funkcji logarytmicznej y=log₂x