Przypomnijmy że mówimy, że funkcja liczbowa   $f:X\to Y$   jest rosnąca  w zbiorze D ⊂ X,  jeżeli dla dowolnych argumentów x1 oraz x2  ze zbioru D,  nierówność x1 < x2 implikuje nierówność f(x1)< f(x2)

---

Pokażemy, że funkcja  $h\left(x\right)={\log }_3\left(x-4\right)$  

jest rosnąca w przedziale  $\left(4,\infty \right)$

Dziedziną funkcji h jest zbiór :  $D_h=\left(4,\infty \right)$   

---

Dowód:

Weźmy dowolne   $x_1,x_2\in \left(4,\infty \right)$   

takie, że $x_1<x_2$  

Obliczamy różnicę:

$h\left(x_1\right)-h\left(x_2\right)={\log }_3\left(x_1-4\right)-{\log }_3\left(x_2-4\right)=\dots$  

Stosujemy prawa działań na logarytmach i dostajemy:

$\dots ={\log }_3\frac{x_1-4}{x_2-4}$  

Z założenia mamy:

$x_1<x_2\mid -4$  

$x_1-4<x_2-4$  

Zauważmy, że zgodnie z założeniem:   $x_1-4>0\text{oraz}{x}_2-4>0$  

Zatem dzieląc obustronnie nierówność przez wyrażenie, które jest po prawej stronie, otrzymujemy:

$\frac{x_1-4}{x_2-4}<1$  

Funkcja logarytmiczna y=log₃x  jest rosnąca, zatem dla większych argumentów przyjmuje większe wartości. Oznacza to, że

  ${\log }_3\frac{x_1-4}{x_2-4}<{\log }_{3}1=0$  

Zatem

${\log }_3\frac{x_1-4}{x_2-4}<0$

Ale :

${\log }_3\frac{x_1-4}{x_2-4}=h\left(x_1\right)-h\left(x_2\right)$  

Czyli 

$h\left(x_1\right)-h\left(x_2\right)<0$  

$h\left(x_1\right)<h\left(x_2\right)$  

Pokazaliśmy, że dla dowolnych argumentów ze zbioru  $\left(4,\infty \right)$  

Z nierówności  $x_1<x_2$   

wynika nierówność  $h\left(x_1\right)<h\left(x_2\right)$

To na mocy definicji oznacza, że funkcja h jest rosnąca  w przedziale  (4, ∞). ▉