Skróć dany ułamek:...- Zadanie 7: Matematyka 4. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Przypomnijmy podstawowe własności logarytmów i prawa działań na logarytmach:

$Je \overset{z}{˙} eli a \in R_{+} \ {1}, b \in R_{+} \ {1}, r \in R, oraz x > 0, y > 0 to$ :

$1 . lo g_{a} x + lo g_{a} y = lo g_{a} (x \cdot y)$

$2 . lo g_{a} x - lo g_{a} y = lo g_{a} (\frac{x}{y})$

$3 . r \cdot lo g_{a} x = lo g_{a} x^{r}$

$4 . lo g_{a} x = \frac{lo g _{b} x}{lo g _{b} a}$

$5 . lo g_{a} b = \frac{1}{lo g _{b} a}$

$6 . a^{l o g_{a} b} = b$

Skrócimy ułamek

$\frac{lo g _{5}^{3} 4 + lo g _{5}^{3} 9}{lo g _{5}^{2} + lo g _{5}^{2} 3 - lo g _{5} 2 \cdot lo g _{5} 3}$

Rozpisujemy wyrażenie z licznika. Korzystamy z własności (3) i mamy:

$lo g_{5}^{3} 4 + lo g_{5}^{3} 9 = lo g_{5}^{3} 2^{2} + lo g_{5}^{3} 3^{2} = (2 \cdot lo g_{5} 2)^{3} + (2 lo g_{5} 3)^{3} = 8 lo g_{5}^{3} 2 + 8 lo g_{5}^{3} 3 = 8 (lo g_{5}^{3} 2 + lo g_{5}^{3} 3) = \dots$

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na sumę sześcianów i otrzymujemy:

$\dots = 8 (lo g_{5} 2 + lo g_{5} 3) (lo g_{5}^{2} 2 - lo g_{5} 2 \cdot lo g_{5} 3 + lo g_{5}^{2} 3) = \dots$

Korzystamy ze wzoru na sumę logarytmów o tej samej podstawie (1) i mamy:

$\dots = 8 [lo g_{5} (2 \cdot 3)] (lo g_{5}^{2} 2 - lo g_{5} 2 \cdot lo g_{5} 3 + lo g_{5}^{2} 3) = 8 lo g_{5} 6 (lo g_{5}^{2} 2 - lo g_{5} 2 \cdot lo g_{5} 3 + lo g_{5}^{2} 3)$

Otrzymaną postać wstawiamy do licznika rozważanego ułamka i otrzymujemy:

$\frac{lo g _{5}^{3} 4 + lo g _{5}^{3} 9}{lo g _{5}^{2} + lo g _{5}^{2} 3 - lo g _{5} 2 \cdot lo g _{5} 3} = \frac{8 lo g _{5} 6 ( l o g _{5}^{2} 2 - l o g _{5} 2 \cdot l o g _{5} 3 + l o g _{5}^{2} 3 )}{l o g _{5}^{2} + l o g _{5}^{2} 3 - l o g _{5} 2 \cdot l o g _{5} 3} = \underline{\underline{8 lo g_{5} 6}}$

Skrócimy ułamek

$\frac{8 - lo g ^{3} 20}{lo g 5}$

Rozpisujemy wyrażenie z licznika.

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę sześcianów i otrzymujemy:

$8 - lo g^{3} 20 = 2^{3} - lo g^{3} 20 = (2 - lo g 20) (2^{2} + 2 lo g 20 + lo g^{2} 20) = \dots$

Zauważmy, że korzystając ze wzorów (2) oraz (3), mamy:

$2 - lo g 20 = 2 \cdot 1 - lo g 20 = 2 \cdot lo g 10 - lo g 20 = lo g 10^{2} - lo g 20 = lo g 100 - lo g 20 = lo g \frac{100}{20} = lo g 5$

Zatem:

$\dots = lo g 5 (2^{2} + 2 lo g 20 + lo g^{2} 20)$

Otrzymaną postać wstawiamy do licznika rozważanego ułamka i otrzymujemy:

$\frac{8 - lo g ^{3} 20}{lo g 5} = \frac{l o g 5 ( 2 ^{2} + 2 lo g 20 + lo g ^{2} 20 )}{l o g 5} = 2^{2} + 2 lo g 20 + lo g^{2} 20 = 4 + lo g 20^{2} + lo g^{2} 20 = \underline{\underline{4 + lo g 400 + lo g^{2} 20}}$

Skrócimy ułamek

$\frac{lo g _{7}^{3} 2 - lo g _{7}^{3} 5}{lo g _{7} 0 , 4}$

Rozpisujemy wyrażenie z licznika. Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę sześcianów i otrzymujemy:

$lo g_{7}^{3} 2 - lo g_{7}^{3} 5 = (lo g_{7} 2 - lo g_{7} 5) (lo g_{7}^{2} 2 + lo g_{7} 2 \cdot lo g_{7} 5 + lo g_{7}^{2} 5) = \dots$

Korzystamy z własności (2) i mamy:

$\dots = lo g_{7} \frac{2}{5} \cdot (lo g_{7}^{2} 2 + lo g_{7} 2 \cdot lo g_{7} 5 + lo g_{7}^{2} 5) = lo g_{7} 0, 4 \cdot (lo g_{7}^{2} 2 + lo g_{7} 2 \cdot lo g_{7} 5 + lo g_{7}^{2} 5)$

Otrzymaną postać wstawiamy do licznika rozważanego ułamka i otrzymujemy:

$\frac{lo g _{7}^{3} 2 - lo g _{7}^{3} 5}{lo g _{7} 0 , 4} = \frac{l o g _{7} 0 , 4 ( lo g _{7}^{2} 2 + lo g _{7} 2 \cdot lo g _{7} 5 + lo g _{7}^{2} 5 )}{l o g _{7} 0 , 4} = \underline{\underline{lo g_{7}^{2} 2 + lo g_{7} 2 \cdot lo g_{7} 5 + lo g_{7}^{2} 5}}$