Zakładamy, że

$x\in \mathbb{R}\backslash \left\{27\right\}$  

Doprowadzimy wyrażenie

$\left(\frac{18+x^{\frac{1}{3}}}{x-27}+\frac{2x^{\frac{1}{3}}+6}{x^{\frac{2}{3}}+3x^{\frac{1}{3}}+9}\right)\cdot \frac{x^{\frac{8}{3}}-27x^{\frac{5}{3}}}{1+2x^{\frac{1}{3}}}$   

do najprostszej postaci. 

Zauważmy, że

• Stosując wzór skróconego mnożenia na różnicę sześcianów, mamy:

$x-27={\left(x^{\frac{1}{3}}\right)}^3-3^3=\left(x^{\frac{1}{3}}-3\right)\left({\left(x^{\frac{1}{3}}\right)}^2+x^{\frac{1}{3}}\cdot 3+3^2\right)=\left(x^{\frac{1}{3}}-3\right)\left(x^{\frac{2}{3}}+3x^{\frac{1}{3}}+9\right)$   

• $x^{\frac{8}{3}}-27x^{\frac{5}{3}}=x^{1+\frac{5}{3}}-27x^{\frac{5}{3}}=x^{\frac{5}{3}}\left(x-27\right)$  
• $2x^{\frac{1}{3}}+6=2\left(x^{\frac{1}{3}}+3\right)$  

Otrzymujemy zatem:

$\left(\frac{18+x^{\frac{1}{3}}}{x-27}+\frac{2x^{\frac{1}{3}}+6}{x^{\frac{2}{3}}+3x^{\frac{1}{3}}+9}\right)\cdot \frac{x^{\frac{8}{3}}-27x^{\frac{5}{3}}}{1+2x^{\frac{1}{3}}}=$   

$=\left(\frac{18+x^{\frac{1}{3}}}{\left(x^{\frac{1}{3}}-3\right)\left(x^{\frac{2}{3}}+3x^{\frac{1}{3}}+9\right)}+\frac{2\left(x^{\frac{1}{3}}+3\right)}{x^{\frac{2}{3}}+3x^{\frac{1}{3}}+9}\right)\cdot \frac{x^{\frac{5}{3}}\left(x-27\right)}{1+2x^{\frac{1}{3}}}=\dots$  

Sprowadzamy ułamki w nawiasie do wspólnego mianownika:

$\dots =\left(\frac{18+x^{\frac{1}{3}}}{\left(x^{\frac{1}{3}}-3\right)\left(x^{\frac{2}{3}}+3x^{\frac{1}{3}}+9\right)}+\frac{2\left(x^{\frac{1}{3}}+3\right)\left(x^{\frac{1}{3}}-3\right)}{\left(x^{\frac{1}{3}}+3\right)\left(x^{\frac{2}{3}}+3x^{\frac{1}{3}}+9\right)}\right)\cdot \frac{x^{\frac{5}{3}}\left(x-27\right)}{1+2x^{\frac{1}{3}}}=\dots$  

W mianownikach ułamków w nawiasie stosujemy ponownie wzór skróconego mnożenia na różnicę sześcianów. Ponadto w liczniku drugiego ułamka w nawiasie możemy zastosować wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów. Stąd mamy:

$\dots =\left(\frac{18+x^{\frac{1}{3}}}{x-27}+\frac{2\left({\left(x^{\frac{1}{3}}\right)}^2-3^2\right)}{x-27}\right)\cdot \frac{x^{\frac{5}{3}}\left(x-27\right)}{1+2x^{\frac{1}{3}}}=\dots$  

Zapisujemy wyrażenie w nawiasie na jednej kresce ułamkowej i otrzymujemy:

$\dots =\left(\frac{18+x^{\frac{1}{3}}}{x-27}+\frac{2x^{\frac{2}{3}}-18}{x-27}\right)\cdot \frac{x^{\frac{5}{3}}\left(x-27\right)}{1+2x^{\frac{1}{3}}}=\frac{18+x^{\frac{1}{3}}+2x^{\frac{2}{3}}-18}{\cancel{x-27}}\cdot \frac{x^{\frac{5}{3}}\left(\cancel{x-27}\right)}{1+2x^{\frac{1}{3}}}=$  

$=\left(x^{\frac{1}{3}}+2x^{\frac{2}{3}}\right)\cdot \frac{x^{\frac{5}{3}}}{1+2x^{\frac{1}{3}}}=x^{\frac{1}{3}}\left(\cancel{1+2x^{\frac{1}{3}}}\right)\cdot \frac{x^{\frac{5}{3}}}{\cancel{1+2x^{\frac{1}{3}}}}=\dots$  

Korzystamy z praw działań na potęgach i otrzymujemy ostatecznie:

$\dots =x^{\frac{1}{3}}\cdot x^{\frac{5}{3}}=x^{\frac{1}{3}+\frac{5}{3}}=\underline{\underline{x^2}}$