Przypomnijmy, że: Jeżeli przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω  jest skończona i wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne, natomiast A  jest dowolnym zdarzeniem w tej przestrzeni, to  $P\left(A\right)=\frac{\left|A\right|}{\left|\Omega \right|}$    gdzie |A| - moc zbioru A,  czyli liczba elementów zbioru A  |Ω| - moc zbioru Ω,  czyli liczba elementów zbioru Ω  $\text{Jesˊli}k\in \mathbb{N},n\in \mathbb{N}\text{oraz}\text{k}\le n,\text{to}$   $\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)=\frac{n!}{k!\cdot \left(n-k\right)!}$

---

Z treści zadania wiemy, że w grupie siedmiorga przyjaciół są dwie dziewczyny i pięciu chłopaków. Wybieramy losowo 2 osoby z tej grupy. Oznacza to, że przestrzenią zdarzeń elementarnych będzie

$\Omega$   - zbiór wszystkich kombinacji dwuelementowych siedmioelementowego zbioru przyjaciół  

Stąd:

$\Omega =\left(\begin{array}{c}7\\ 2\end{array}\right)=\frac{7!}{2!\cdot \left(7-2\right)!}=\frac{7!}{2!\cdot 5!}=\frac{5!\cdot 6\cdot 7}{2\cdot 5!}=\frac{6\cdot 7}{2}=\frac{42}{2}=21$  

---

Wprowadzamy oznaczenia zdarzeń:

A - wylosujemy co najmniej jedną dziewczynę

B - wylosujemy dwóch chłopaków

Obliczamy prawdopodobieństwa zdarzeń  A oraz B. Zauważmy, że zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A jest zdarzenie, że nie wylosujemy żadnej dziewczyny, czyli wylosujemy dwóch chłopaków. Jest to zdarzenie B. Oznacza to, że zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A jest zdarzenie B. 

Zatem

$A{}^{\prime }=B$  

Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia B. W grupie przyjaciół jest 5 chłopaków, wybieramy losowo dwóch  z nich. Zatem

$\left|B\right|=\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)=\frac{5!}{2!\cdot \left(5-2\right)!}=\frac{5!}{2\cdot 3!}=\frac{3!\cdot 4\cdot 5}{2\cdot 3!}=\frac{20}{2}=\underline{\underline{10}}$  

Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia B:

$P\left(B\right)=\frac{\left|B\right|}{\left|\Omega \right|}=\underline{\underline{\frac{10}{21}}}$  

---

Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A. Wiemy, że jest to zdarzenie przeciwne do zdarzenia B. Korzystamy z własności prawdopodobieństwa zdarzenia przeciwnego i otrzymujemy:

$P\left(A\right)=1-P\left(A{}^{\prime }\right)=1-P\left(B\right)=1-\frac{10}{21}=\frac{21-10}{21}=\underline{\underline{\frac{11}{21}}}$   

Zauważmy, że

$\frac{11}{21}>\frac{10}{21}$  

Czyli

$P\left(A\right)>P\left(B\right)$  

Zatem prawdopodobieństwo, że wylosujemy co najmniej jedną dziewczynę jest większe od prawdopodobieństwa, że wylosujemy dwóch chłopaków.