Przypomnijmy najważniejsze własności potęg o wykładnikach rzeczywistych. Jeżeli a, b są dodatnimi liczbami rzeczywistymi oraz x, y - dowolnymi liczbami rzeczywistymi, to: $1)a^x\cdot a^y=a^{x+y}$ $2)a^x:a^y=a^{x-y}$   $3){\left(a^x\right)}^y=a^{x\cdot y}$    $4)a^x\cdot b^x={\left(a\cdot b\right)}^x$ $\text{5)}\frac{a^x}{b^x}={\left(\frac{a}{b}\right)}^x$

---

a)  

Korzystając z praw działań na potęgach, mamy

$2^{\frac{1}{2}}\cdot \sqrt[3]{2}\cdot 2^{\frac{1}{6}}=2^{\frac{1}{2}}\cdot 2^{\frac{1}{3}}\cdot 2^{\frac{1}{6}}=2^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}}=2^{\frac{3}{6}+\frac{2}{6}+\frac{1}{6}}=2^{\frac{6}{6}}=\underline{\underline{2}}$  

---

b) 

Poniższe wyrażenie sprowadzamy do potęgi liczby 3.

$3^{-2}:{\left(-27\right)}^4\cdot {\left[{\left(\frac{1}{9}\right)}^{-2}\right]}^3=3^{-2}:{\left({\left(-3\right)}^3\right)}^4\cdot {\left[{\left(3^{-2}\right)}^{-2}\right]}^3=\dots$  

stosując prawa działań na potęgach, mamy

$\dots =3^{-2}:{\left(-3\right)}^{12}\cdot 3^{-2\cdot \left(-2\right)\cdot 3}=3^{-2}:{\left(-1\right)}^{12}\cdot 3^{12}\cdot 3^{-2\cdot \left(-2\right)\cdot 3}=3^{-2}:3^{12}\cdot 3^{-2\cdot \left(-2\right)\cdot 3}=$  

$=3^{-2}:3^{12}\cdot 3^{12}=3^{-2-12+12}=3^{-2}={\left(\frac{1}{3}\right)}^2=\underline{\underline{\frac{1}{9}}}$  

---

c)

$5^{\frac{1}{2}}\cdot 5^{\frac{1}{2}}+3^{\frac{1}{2}}\cdot 3^{\frac{1}{2}}=5^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}+3^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}=5^1+3^1=\underline{\underline{8}}$  

---

d)

${\left(3^{-9}+3^{-9}+3^{-9}\right)}^{0,5}:3^{-6}={\left(3\cdot 3^{-9}\right)}^{\frac{1}{2}}:3^{-6}={\left(3^{1-9}\right)}^{\frac{1}{2}}:3^{-6}=$

$={\left(3^{-8}\right)}^{\frac{1}{2}}:3^{-6}=3^{-8\cdot \frac{1}{2}}:3^{-6}=3^{-4}:3^{-6}=3^{-4-\left(-6\right)}=3^2=\underline{\underline{9}}$  

---

e)

Stosujemy prawa działań na potęgach.

${\left(\sqrt{11}-\sqrt{3}\right)}^{\frac{1}{3}}\cdot {\left(\sqrt{11}+\sqrt{3}\right)}^{\frac{1}{3}}={\left[\left(\sqrt{11}-\sqrt{3}\right)\cdot \left(\sqrt{11}+\sqrt{3}\right)\right]}^{\frac{1}{3}}=\dots$

korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów i mamy

$\dots ={\left[{\left(\sqrt{11}\right)}^2-{\left(\sqrt{3}\right)}^2\right]}^{\frac{1}{3}}={\left(11-3\right)}^{\frac{1}{3}}=8^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{8}=\underline{\underline{2}}$   

---

f)

${\left[{\sqrt{5}}^{2-\sqrt{2}}\right]}^{2+\sqrt{2}}={\left(\sqrt{5}\right)}^{\left(2-\sqrt{2}\right)\cdot \left(2+\sqrt{2}\right)}=\dots$  

korzystamy w wykładniku ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów i mamy

$\dots ={\left(\sqrt{5}\right)}^{2^2-{\left(\sqrt{2}\right)}^2}={\left(\sqrt{5}\right)}^{4-2}={\left(\sqrt{5}\right)}^2=\underline{\underline{5}}$