Oblicz, korzystając z praw...- Zadanie 3: Matematyka 4. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Przypomnijmy najważniejsze własności potęg o wykładnikach rzeczywistych.

Jeżeli a, b są dodatnimi liczbami rzeczywistymi oraz x, y - dowolnymi liczbami rzeczywistymi, to:

$1) a^{x} \cdot a^{y} = a^{x + y}$

$2) a^{x} : a^{y} = a^{x - y}$

$3) (a^{x})^{y} = a^{x \cdot y}$

$4) a^{x} \cdot b^{x} = (a \cdot b)^{x}$

$5) \frac{a ^{x}}{b ^{x}} = (\frac{a}{b})^{x}$

Korzystając z praw działań na potęgach, mamy

$2^{\frac{1}{2}} \cdot 32 \cdot 2^{\frac{1}{6}} = 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{6}} = 2^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}} = 2^{\frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6}} = 2^{\frac{6}{6}} = \underline{\underline{2}}$

Poniższe wyrażenie sprowadzamy do potęgi liczby 3.

$3^{- 2} : (- 27)^{4} \cdot [(\frac{1}{9})^{- 2}]^{3} = 3^{- 2} : ((- 3)^{3})^{4} \cdot [(3^{- 2})^{- 2}]^{3} = \dots$

stosując prawa działań na potęgach, mamy

$\dots = 3^{- 2} : (- 3)^{12} \cdot 3^{- 2 \cdot (- 2) \cdot 3} = 3^{- 2} : (- 1)^{12} \cdot 3^{12} \cdot 3^{- 2 \cdot (- 2) \cdot 3} = 3^{- 2} : 3^{12} \cdot 3^{- 2 \cdot (- 2) \cdot 3} =$

$= 3^{- 2} : 3^{12} \cdot 3^{12} = 3^{- 2 - 12 + 12} = 3^{- 2} = (\frac{1}{3})^{2} = \underline{\underline{\frac{1}{9}}}$

$5^{\frac{1}{2}} \cdot 5^{\frac{1}{2}} + 3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 5^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + 3^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = 5^{1} + 3^{1} = \underline{\underline{8}}$

$(3^{- 9} + 3^{- 9} + 3^{- 9})^{0, 5} : 3^{- 6} = (3 \cdot 3^{- 9})^{\frac{1}{2}} : 3^{- 6} = (3^{1 - 9})^{\frac{1}{2}} : 3^{- 6} =$

$= (3^{- 8})^{\frac{1}{2}} : 3^{- 6} = 3^{- 8 \cdot \frac{1}{2}} : 3^{- 6} = 3^{- 4} : 3^{- 6} = 3^{- 4 - (- 6)} = 3^{2} = \underline{\underline{9}}$

Stosujemy prawa działań na potęgach.

$(11 - 3)^{\frac{1}{3}} \cdot (11 + 3)^{\frac{1}{3}} = [(11 - 3) \cdot (11 + 3)]^{\frac{1}{3}} = \dots$

korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów i mamy

$\dots = [(11)^{2} - (3)^{2}]^{\frac{1}{3}} = (11 - 3)^{\frac{1}{3}} = 8^{\frac{1}{3}} = 38 = \underline{\underline{2}}$

$[5^{2 - 2}]^{2 + 2} = (5)^{(2 - 2) \cdot (2 + 2)} = \dots$

korzystamy w wykładniku ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów i mamy

$\dots = (5)^{2^{2} - (2)^{2}} = (5)^{4 - 2} = (5)^{2} = \underline{\underline{5}}$

Paweł Brzozowski

Nauczyciel matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Własności potęg i notacja wykładnicza

Premium

18:37

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Własności logarytmów

Premium

13:32

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Działania na potęgach i pierwiastkach

Premium

14:15

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.