Przypomnijmy, że Jeżeli  $x_1,x_2,\dots ,x_n$  są wartościami badanej cechy, których średnia arytmetyczna jest równa  $\overline{x},$   to wariancja jest równa: ${\sigma }^2=\frac{x_1^2+x_2^2+\dots x_n^2}{n}-\overline{x}{}^2$

---

Wiemy, że średnia arytmetyczna liczb a, b, c jest równa 5

Oznacza to, że

$\overline{x}=\frac{a+b+c}{3}=5$  

Wiemy również, że suma kwadratów tych liczb liczb jest równa 77, czyli

$a^2+b^2+c^2=77$  

Ponadto wariancja zestawu danych:

$k\cdot a,k\cdot b,k\cdot c$   wynosi    $6$

---

Korzystamy ze wzoru na wariancję. Mamy:

${\sigma }^2=\frac{{\left(k\cdot a\right)}^2+{\left(k\cdot b\right)}^2+{\left(k\cdot c\right)}^2}{3}-{\left(\frac{k\cdot a+k\cdot b+k\cdot c}{3}\right)}^2=\dots$  

Korzystamy z praw działań na potęgach i wyłączamy wspólny czynnik k przed nawias. Mamy:

$\dots =\frac{k^2\cdot a^2+k^2\cdot b^2+k^2\cdot c^2}{3}-{\left[\frac{k\left(a+b+c\right)}{3}\right]}^2=$  

$=\frac{k^2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{3}-k^2\cdot {\left(\frac{a+b+c}{3}\right)}^2=\dots$  

Wyłączamy wspólny czynnik k² przed nawias i otrzymujemy:

$\dots =k^2\left[\frac{a^2+b^2+c^2}{3}-{\left(\frac{a+b+c}{3}\right)}^2\right]$  

Korzystamy danych, które zostały podane w zadaniu i mamy:

 

$\underset{6}{\underbrace{{\sigma }^2}}=k^2\left[\frac{\stackrel{77}{\overbrace{a^2+b^2+c^2}}}{3}-{\left(\underset{5}{\underbrace{\frac{a+b+c}{3}}}\right)}^2\right]$  

Czyli:

$6=k^2\cdot \left(\frac{77}{3}-5^2\right)$  

$6=k^2\cdot \left(25\frac{2}{3}-25\right)$  

$6=k^2\cdot \frac{2}{3}\mid \cdot \frac{3}{2}$  

$k^2=6\cdot \frac{3}{2}$  

$k^2=9$  

Stąd:

$k=3\vee k=-3$