Definicja logarytmu: $\text{Jesˊli}a>0,a\ne 1\text{i}b>0,\text{to}\left({\log }_{a}b=c\iff a^c=b\right).$

Przypomnijmy, że funkcją logarytmiczną nazywamy funkcję, którą można opisać wzorem: $f\left(x\right)={\log }_{a}x,\text{gdzie}a\in {\mathbb{R}}_{+}\backslash \left\{1\right\},x\in {\mathbb{R}}_{+}$

Przypomnijmy, że jeśli wykres funkcji y=f(x) przesuniemy równolegle o wektor [p, q], to otrzymamy wykres funkcji y=f(x-p)+q.

---

a)

$f\left(x\right)={\log }_2\left(x+a\right)$  

$g\left(x\right)={\left(\frac{1}{3}\right)}^{x+b}-1$   

 

Wiemy, że wykresy funkcji f i g przecinają oś OY w punkcie o rzędnej 2.

Oznacza to, że:

$\{\begin{array}{l}f\left(0\right)=2\\ g\left(0\right)=2\end{array}$  

 

$f\left(0\right)=2$  

${\log }_2\left(0+a\right)=2$  

${\log }_{2}a=2$  

$a=2^2$  

$\underline{\underline{a=4}}$  

 

$g\left(0\right)=2$  

${\left(\frac{1}{3}\right)}^{0+b}-1=2$  

${\left(\frac{1}{3}\right)}^b=2+1$  

${\left(\frac{1}{3}\right)}^b=3$  

${\left(\frac{1}{3}\right)}^b={\left(\frac{1}{3}\right)}^{-1}$  

Stąd:

$\underline{\underline{b=-1}}$  

 

Zatem:

$f\left(x\right)={\log }_2\left(x+4\right)$  

$g\left(x\right)={\left(\frac{1}{3}\right)}^{x-1}-1$  

 

Wyznaczamy dziedzinę funkcji f:

$x+4>0$  

$x>-4$  

$\underline{\underline{D_f=\left(-4,+\infty \right)}}$  

 

Wyznaczamy dziedzinę funkcji g:

$\underline{\underline{D_g=\mathbb{R}}}$  

---

b)

Wyznaczamy miejsce zerowe funkcji f:

$f\left(x\right)=0$  

${\log }_2\left(x+4\right)=0$  

$x+4=2^0$  

$x+4=1$  

$x=1-4$  

$x=\underline{\underline{-3}}$  

 

Wyznaczamy miejsce zerowe funkcji g:

$g\left(x\right)=0$  

${\left(\frac{1}{3}\right)}^{x-1}-1=0$  

${\left(\frac{1}{3}\right)}^{x-1}=1$  

${\left(\frac{1}{3}\right)}^{x-1}={\left(\frac{1}{3}\right)}^0$  

Stąd:

$x-1=0$  

$x=\underline{\underline{1}}$  

---

c)

$f\left(x\right)={\log }_2\left(x+4\right)$  

 

Wykres funkcji f otrzymamy, jeśli:

1) naszkicujemy wykres funkcji h(x)=log₂ x,

2) przesuniemy równolegle wykres funkcji h o 4 jednostki w lewo wzdłuż osi OX, czyli o wektor [-4, 0].

 

Budujemy tabelkę częściową funkcji h:

$x$	$\frac{1}{2}$	$1$	$2$	$4$
$h\left(x\right)$	$-1$	$0$	$1$	$2$

 

 

$g\left(x\right)={\left(\frac{1}{3}\right)}^{x-1}-1$  

 

Wykres funkcji g otrzymamy, jeśli:

1) naszkicujemy wykres funkcji t(x)=(¹/₃)^x,

2) przesuniemy równolegle wykres funkcji t o 1 jednostkę w prawo wzdłuż osi OX i 1 jednostkę w dół wzdłuż osi OY, czyli o wektor [1, -1]. 

 

Budujemy tabelkę częściową funkcji t:

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$
$t\left(x\right)$	$9$	$3$	$1$	$\frac{1}{3}$

 

 

Otrzymujemy, że:

---

d)

Odczytujemy zbiór argumentów, dla których obie funkcje przyjmują jednocześnie wartości dodatnie:

$\underline{\underline{x\in \left(-3,1\right)}}$