Rozwiąż nierówności...- Zadanie 2.102: Matematyka 4. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Definicja logarytmu:

$Je \overset{s}{ˊ} li a > 0, a \neq = 1 i b > 0, to (lo g_{a} b = c \Leftrightarrow a^{c} = b) .$

Twierdzenie związane z nierównościami wykładniczymi (*):

$(1) Je \overset{s}{ˊ} li a \in (0, 1) i x_{1} \in R, x_{2} \in R, to$

$a^{x_{1}} < a^{x_{2}} \Leftrightarrow x_{1} > x_{2}$

$(2) Je \overset{s}{ˊ} li a \in (1, + \infty) i x_{1} \in R, x_{2} \in R, to$

$a^{x_{1}} < a^{x_{2}} \Leftrightarrow x_{1} < x_{2}$

Twierdzenie, które wynika z monotoniczności funkcji logarytmicznej (**):

$(1) Je \overset{s}{ˊ} li a \in (0, 1) oraz x_{1} \in R_{+}, x_{2} \in R_{+}, to$

$lo g_{a} x_{1} < lo g_{a} x_{2} \Leftrightarrow x_{1} > x_{2}$

$(2) Je \overset{s}{ˊ} li a \in (1, + \infty) oraz x_{1} \in R_{+}, x_{2} \in R_{+}, to$

$lo g_{a} x_{1} < lo g_{a} x_{2} \Leftrightarrow x_{1} < x_{2}$

$lo g_{2} (2^{x + 1} - 4) \leq lo g_{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 ^{x} + 1}$

Wyznaczamy dziedzinę nierówności:

$2^{x + 1} - 4 > 0 \land \frac{1}{2 ^{x} + 1} > 0$

Wiemy, że funkcja wykładnicza przyjmuje tylko wartości dodatnie (2^x>0), więc:

$2^{x + 1} > 4 \land x \in R$

$2^{x + 1} > 2^{2}$

Korzystamy z twierdzenia (*).

$x + 1 > 2$

$x > 2 - 1$

$x > 1$

Zatem:

$D = (1, + \infty)$

Rozwiązujemy nierówność:

$lo g_{2} (2^{x + 1} - 4) \leq lo g_{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 ^{x} + 1}$

$lo g_{2} (2^{x + 1} - 4) \leq \frac{lo g _{2} \frac{1}{2 ^{x} + 1}}{lo g _{2} \frac{1}{2}}$

$lo g_{2} (2^{x + 1} - 4) \leq \frac{lo g _{2} \frac{1}{2 ^{x} + 1}}{- 1}$

$lo g_{2} (2^{x + 1} - 4) \leq - lo g_{2} \frac{1}{2 ^{x} + 1}$

$lo g_{2} (2^{x + 1} - 4) \leq lo g_{2} (\frac{1}{2 ^{x} + 1})^{- 1}$

$lo g_{2} (2^{x + 1} - 4) \leq lo g_{2} (2^{x} + 1)$

Korzystamy z twierdzenia (**).

$2^{x + 1} - 4 \leq 2^{x} + 1$

$2^{x + 1} - 2^{x} \leq 1 + 4$

$2^{x} (2 - 1) \leq 5$

$2^{x} \leq 5$

Stąd:

$lo g_{2} 2^{x} \leq lo g_{2} 5$

$x \leq lo g_{2} 5$

$x \in (- \infty, lo g_{2} 5 ⟩$

Uwzględniamy dziedzinę nierówności:

$x \in (- \infty, lo g_{2} 5 ⟩ \land x \in (1, + \infty)$

Otrzymujemy, że:

$\underline{\underline{x \in (1, lo g_{2} 5 ⟩}}$

$lo g_{2} (3^{x + 1} + 1) > 1 + lo g_{2} (9^{x} - 2)$

Wyznaczamy dziedzinę nierówności:

$3^{x + 1} + 1 > 0 \land 9^{x} - 2 > 0$

$3^{x + 1} > - 1 \land 9^{x} > 2$

Wiemy, że funkcja wykładnicza przyjmuje tylko wartości dodatnie (3^x+1>0), więc:

$x \in R \land lo g_{9} 9^{x} > lo g_{9} 2$

$x \in R \land x > lo g_{9} 2$

Zatem:

$D = (lo g_{9} 2, + \infty)$

Rozwiązujemy nierówność:

$lo g_{2} (3^{x + 1} + 1) > 1 + lo g_{2} (9^{x} - 2)$

$lo g_{2} (3^{x + 1} + 1) - lo g_{2} (9^{x} - 2) > 1$

$lo g_{2} \frac{3 ^{x + 1} + 1}{9 ^{x} - 2} > lo g_{2} 2$

Korzystamy z twierdzenia (**).

$\frac{3 ^{x + 1} + 1}{9 ^{x} - 2} > 2$

$\frac{3 ^{x} \cdot 3 + 1}{( 3 ^{2} ) ^{x} - 2} > 2$

$\frac{3 ^{x} \cdot 3 + 1}{( 3 ^{x} ) ^{2} - 2} > 2$

Podstawiamy:

$t = 3^{x}, t > 0$

Otrzymujemy:

$\frac{3 t + 1}{t ^{2} - 2} > 2 ∣ \cdot (t^{2} - 2)^{2}, t \neq = 2, t \neq = - 2$

$(3 t + 1) (t^{2} - 2) > 2 (t^{2} - 2)^{2}$

$(3 t + 1) (t^{2} - 2) - 2 (t^{2} - 2)^{2} > 0$

$(t^{2} - 2) [3 t + 1 - 2 (t^{2} - 2)] > 0$

$(t^{2} - 2) (3 t + 1 - 2 t^{2} + 4) > 0$

$(t^{2} - 2) (- 2 t^{2} + 3 t + 5) > 0$

$(t - 2) (t + 2) (- 2 t^{2} + 3 t + 5) > 0$

Rozwiązujemy nierówność wielomianową:

$t - 2 = 0 \lor t + 2 = 0 \lor - 2 t^{2} + 3 t + 5 = 0$

$t = 2 \lor t = - 2 \lor Δ = 3^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 5 = 9 + 40 = 49, Δ = 7$

$t = 2 \lor t = - 2 \lor (t = \frac{- 3 - 7}{2 \cdot ( - 2 )} = \frac{- 10}{- 4} = \frac{5}{2} = 2 \frac{1}{2} \lor t = \frac{- 3 + 7}{2 \cdot ( - 2 )} = \frac{4}{- 4} = - 1)$

$t \in (- 2, - 1) \cup (2, 2 \frac{1}{2}) \land t > 0 \land t \neq = 2 \land t \neq = - 2$

$t \in (2, 2 \frac{1}{2})$

Oznacza to, że:

$t > 2 \land t < 2 \frac{1}{2}$

Stąd:

$3^{x} > 2 \land 3^{x} < 2 \frac{1}{2}$

$lo g_{3} 3^{x} > lo g_{3} 2 \land lo g_{3} 3^{x} < lo g_{3} 2 \frac{1}{2}$

$x > lo g_{3} 2 \land x < lo g_{3} 2 \frac{1}{2}$

$x \in (lo g_{3} 2, lo g_{3} 2 \frac{1}{2})$

Uwzględniamy dziedzinę nierówności:

$x \in (lo g_{3} 2, lo g_{3} 2 \frac{1}{2}) \land x \in (lo g_{9} 2, + \infty)$

Zauważmy, że:

$lo g_{9} 2 = \frac{lo g _{3} 2}{lo g _{3} 9} = \frac{lo g _{3} 2}{2} = \frac{1}{2} lo g_{3} 2 = lo g_{3} 2^{\frac{1}{2}} = lo g_{3} 2$

Otrzymujemy, że:

$\underline{\underline{x \in (lo g_{3} 2, lo g_{3} 2 \frac{1}{2})}}$

$lo g_{\frac{1}{3}} (3 \cdot 2^{x} + 3) \leq lo g_{\frac{1}{3}} (4^{x} - 1) - 1$

Wyznaczamy dziedzinę nierówności:

$3 \cdot 2^{x} + 3 > 0 \land 4^{x} - 1 > 0$

$3 \cdot 2^{x} > - 3 \land 4^{x} > 1$

$2^{x} > - 1 \land 4^{x} > 4^{0}$

Wiemy, że funkcja wykładnicza przyjmuje tylko wartości dodatnie (2^x>0), więc:

$x \in R \land x > 0$

$x > 0$

Zatem:

$D = (0, + \infty)$

Rozwiązujemy nierówność:

$lo g_{\frac{1}{3}} (3 \cdot 2^{x} + 3) \leq lo g_{\frac{1}{3}} (4^{x} - 1) - 1$

$lo g_{\frac{1}{3}} (3 \cdot 2^{x} + 3) - lo g_{\frac{1}{3}} (4^{x} - 1) \leq - 1$

$lo g_{\frac{1}{3}} \frac{3 \cdot 2 ^{x} + 3}{4 ^{x} - 1} \leq lo g_{\frac{1}{3}} 3$

Korzystamy z twierdzenia (**).

$\frac{3 \cdot 2 ^{x} + 3}{4 ^{x} - 1} \geq 3$

$\frac{3 \cdot 2 ^{x} + 3}{( 2 ^{2} ) ^{x} - 1} \geq 3$

$\frac{3 \cdot 2 ^{x} + 3}{( 2 ^{x} ) ^{2} - 1} \geq 3$

Podstawiamy:

$t = 2^{x}, t > 0$

Otrzymujemy:

$\frac{3 t + 3}{t ^{2} - 1} \geq 3 ∣ \cdot (t^{2} - 1)^{2}, t \neq = 1, t \neq = - 1$

$(3 t + 3) (t^{2} - 1) \geq 3 (t^{2} - 1)^{2}$

$(3 t + 3) (t^{2} - 1) - 3 (t^{2} - 1)^{2} \geq 0$

$(t^{2} - 1) [3 t + 3 - 3 (t^{2} - 1)] \geq 0$

$(t^{2} - 1) (3 t + 3 - 3 t^{2} + 3) \geq 0$

$(t^{2} - 1) (- 3 t^{2} + 3 t + 6) \geq 0$

$(t - 1) (t + 1) (- 3 t^{2} + 3 t + 6) \geq 0$

Rozwiązujemy nierówność wielomianową:

$t - 1 = 0 \lor t + 1 = 0 \lor Δ = 3^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 6 = 9 + 72 = 81, Δ = 9$

$t = 1 \lor t = - 1 \lor (t = \frac{- 3 - 9}{2 \cdot ( - 3 )} = \frac{- 12}{- 6} = 2 \lor t = \frac{- 3 + 9}{2 \cdot ( - 3 )} = \frac{6}{- 6} = - 1)$

$t \in {- 1} \cup ⟨ 1, 2 ⟩ \land t > 0 \land t \neq = 1 \land t \neq = - 1$

$t \in (1, 2 ⟩$

Oznacza to, że:

$t > 1 \land t \leq 2$

Stąd:

$2^{x} > 1 \land 2^{x} \leq 2$

$2^{x} > 2^{0} \land 2^{x} \leq 2^{1}$

Korzystamy z twierdzenia (*).

$x > 0 \land x \leq 1$

$x \in (0, 1 ⟩$

Uwzględniamy dziedzinę nierówności:

$x \in (0, 1 ⟩ \land x \in (0, + \infty)$

Otrzymujemy, że:

$\underline{\underline{x \in (0, 1 ⟩}}$

$lo g_{\frac{1}{2}} (9^{x + 2} + 3^{x + 2}) + 1 > 0$

Wyznaczamy dziedzinę nierówności:

$9^{x + 2} + 3^{x + 2} > 0$

Wiemy, że funkcja wykładnicza przyjmuje tylko wartości dodatnie (9^x+2>0, 3^x+2>0), więc:

$x \in R$

Zatem:

$D = R$

Rozwiązujemy nierówność:

$lo g_{\frac{1}{2}} (9^{x + 2} + 3^{x + 2}) + 1 > 0$

$lo g_{\frac{1}{2}} (9^{x + 2} + 3^{x + 2}) > - 1$

$lo g_{\frac{1}{2}} (9^{x + 2} + 3^{x + 2}) > lo g_{\frac{1}{2}} 2$

Korzystamy z twierdzenia (**).

$9^{x + 2} + 3^{x + 2} < 2$

$(3^{2})^{x + 2} + 3^{x + 2} - 2 < 0$

$(3^{x + 2})^{2} + 3^{x + 2} - 2 < 0$

Podstawiamy:

$t = 3^{x + 2}, t > 0$

Otrzymujemy:

$t^{2} + t - 2 < 0$

$Δ = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2) = 1 + 8 = 9, Δ = 3$

$t_{1} = \frac{- 1 - 3}{2 \cdot 1} = \frac{- 4}{2} = - 2$

$t_{2} = \frac{- 1 + 3}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1$

$t \in (- 2, 1) \land t > 0$

$t \in (0, 1)$

Oznacza to, że:

$t > 0 \land t < 1$

Stąd:

$3^{x + 2} > 0 \land 3^{x + 2} < 1$

$x \in R \land 3^{x + 2} < 3^{0}$

Korzystamy z twierdzenia (*).

$x + 2 < 0$

$x < - 2$

$x \in (- \infty, - 2)$

Uwzględniamy dziedzinę nierówności:

$x \in (- \infty, - 2) \land x \in R$

Otrzymujemy, że:

$\underline{\underline{x \in (- \infty, - 2)}}$

Patrycja Olszowy

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Funkcja logarytmiczna

Premium

9:46

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Własności logarytmów

Premium

13:32

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Określenie logarytmu

Premium

13:14

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.