Definicja logarytmu: $\text{Jesˊli}a>0,a\ne 1\text{i}b>0,\text{to}\left({\log }_{a}b=c\iff a^c=b\right).$

---

a)

${\log }_2\left(x-1\right)=5$  

 

Wyznaczamy dziedzinę równania:

$x-1>0$  

$x>1$  

$\underline{\underline{D=\left(1,+\infty \right)}}$  

 

Rozwiązujemy równanie:

${\log }_2\left(x-1\right)=5$  

Z definicji logarytmu:

$x-1=2^5$  

$x-1=32$  

$x=32+1$  

$x=33$  

 

$33\in D$  

Zatem:

$\underline{\underline{x=33}}$  

---

b)

${\log }_{\frac{1}{3}}\left(2x+5\right)=-2$  

 

Wyznaczamy dziedzinę równania:

$2x+5>0$  

$2x>-5\mid :2$  

$x>-\frac{5}{2}$  

$x>-2\frac{1}{2}$  

$\underline{\underline{D=\left(-2\frac{1}{2},+\infty \right)}}$  

 

Rozwiązujemy równanie:

${\log }_{\frac{1}{3}}\left(2x+5\right)=-2$  

Z definicji logarytmu:

$2x+5={\left(\frac{1}{3}\right)}^{-2}$  

$2x+5={\left({\left(\frac{1}{3}\right)}^{-1}\right)}^2$  

$2x+5=3^2$  

$2x+5=9$  

$2x=9-5$  

$2x=4\mid :2$  

$x=2$  

 

$2\in D$  

 

Zatem:

$\underline{\underline{x=2}}$  

---

c)

${\log }_{2\sqrt{2}}\left(5-x\right)=4$  

 

Wyznaczamy dziedzinę równania:

$5-x>0$  

$-x>-5\mid :\left(-1\right)$  

$x<5$  

$\underline{\underline{D=\left(-\infty ,5\right)}}$  

 

Rozwiązujemy równanie:

${\log }_{2\sqrt{2}}\left(5-x\right)=4$  

Z definicji logarytmu:

$5-x={\left(2\sqrt{2}\right)}^4$  

$5-x=2^4\cdot {\left(\sqrt{2}\right)}^4$  

$5-x=16\cdot 4$  

$5-x=64$  

$-x=64-5$  

$-x=59\mid :\left(-1\right)$  

$x=-59$  

 

$-59\in D$  

 

Zatem:

$\underline{\underline{x=-59}}$  

---

d)

${\log }_{27}\left(\frac{3-2x}{4}\right)=\frac{2}{3}$  

 

Wyznaczamy dziedzinę równania:

$\frac{3-2x}{4}>0\mid \cdot 4$  

$3-2x>0$  

$-2x>-3\mid :\left(-2\right)$  

$x<\frac{3}{2}$  

$x<1\frac{1}{2}$  

$\underline{\underline{D=\left(-\infty ,1\frac{1}{2}\right)}}$  

 

Rozwiązujemy równanie:

${\log }_{27}\left(\frac{3-2x}{4}\right)=\frac{2}{3}$  

Z definicji logarytmu:

$\frac{3-2x}{4}={27}^{\frac{2}{3}}$  

$\frac{3-2x}{4}={\left({27}^{\frac{1}{3}}\right)}^2$  

$\frac{3-2x}{4}={\left(\sqrt[3]{27}\right)}^2$  

$\frac{3-2x}{4}=3^2$  

$\frac{3-2x}{4}=9\mid \cdot 4$  

$3-2x=36$  

$-2x=36-3$  

$-2x=33\mid :\left(-2\right)$  

$x=-\frac{33}{2}$  

$x=-16\frac{1}{2}$  

 

$-16\frac{1}{2}\in D$  

 

Zatem:

$\underline{\underline{x=-16\frac{1}{2}}}$  

---

e)

${\log }_4\left|x-7\right|=0,5$  

 

Wyznaczamy dziedzinę równania:

$\left|x-7\right|>0$  

Wiemy, że wartość bezwzględna dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną.

Powyższa nierówność jest więc równoważna:

$x-7\ne 0$  

$x\ne 7$  

Zatem:

$D=\mathbb{R}\backslash \left\{7\right\}$  

 

Rozwiązujemy równanie:

${\log }_4\left|x-7\right|=0,5$  

${\log }_4\left|x-7\right|=\frac{1}{2}$  

Z definicji logarytmu:

$\left|x-7\right|=4^{\frac{1}{2}}$  

$\left|x-7\right|=\sqrt{4}$  

$\left|x-7\right|=2$  

Z własności wartości bezwzględnej:

$x-7=2\text{lub}x-7=-2$  

$x=2+7\text{lub}x=-2+7$  

$x=9\text{lub}x=5$  

 

$9\in D$  

$5\in D$  

 

Zatem:

$\underline{\underline{x\in \left\{5,9\right\}}}$  

---

f)

${\log }_{0,75}\left|x+2\right|=0$  

 

Wyznaczamy dziedzinę równania:

$\left|x+2\right|>0$  

Wiemy, że wartość bezwzględna dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną.

Powyższa nierówność jest więc równoważna:

$x+2\ne 0$  

$x\ne -2$  

Zatem:

$\underline{\underline{D=\mathbb{R}\backslash \left\{-2\right\}}}$  

 

Rozwiązujemy równanie:

${\log }_{0,75}\left|x+2\right|=0$  

${\log }_{\frac{3}{4}}\left|x+2\right|=0$  

Z definicji logarytmu:

$\left|x+2\right|={\left(\frac{3}{4}\right)}^0$  

$\left|x+2\right|=1$  

Z własności wartości bezwzględnej:

$x+2=1\text{lub}x+2=-1$  

$x=1-2\text{lub}x=-1-2$  

$x=-1\text{lub}x=-3$  

 

$-1\in D$  

$-3\in D$  

 

Zatem:

$\underline{\underline{x\in \left\{-3,-1\right\}}}$