Wykaż, że jeśli...- Zadanie 2.21: Matematyka 4. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Definicja logarytmu:

$Je \overset{s}{ˊ} li a > 0, a \neq = 1 i b > 0, to (lo g_{a} b = c \Leftrightarrow a^{c} = b) .$

Prawa działań na logarytmach:

$(1) lo g_{a} x + lo g_{a} y = lo g_{a} (x \cdot y)$

$(2) lo g_{a} x - lo g_{a} y = lo g_{a} \frac{x}{y}$

$(3) r \cdot lo g_{a} x = lo g_{a} x^{r}$

$(4) lo g_{a} x = \frac{lo g _{b} x}{lo g _{b} a}$

Założenie:

$lo g_{3} 20 = a$

$lo g_{3} 15 = b$

Teza:

$lo g_{2} 360 = \frac{3 a - b + 5}{a - b + 1}$

Dowód:

I SPOSÓB:

$\frac{3 a - b + 5}{a - b + 1} =$

Korzystamy z założenia i otrzymujemy, że:

$= \frac{3 \cdot lo g _{3} 20 - lo g _{3} 15 + 5}{lo g _{3} 20 - lo g _{3} 15 + 1} =$

$= \frac{lo g _{3} 20 ^{3} - lo g _{3} 15 + 5}{lo g _{3} \frac{20}{15} + 1} =$

$= \frac{lo g _{3} 8000 - lo g _{3} 15 + lo g _{3} 243}{lo g _{3} \frac{4}{3} + lo g _{3} 3} =$

$= \frac{lo g _{3} \frac{8000}{15} + lo g _{3} 243}{lo g _{3} ( \frac{4}{3} \cdot 3 )} =$

$= \frac{lo g _{3} ( \frac{1600}{3 ^{1}} \cdot 243 ^{81} )}{lo g _{3} 4} =$

$= \frac{lo g _{3} 129600}{lo g _{3} 4} =$

$= lo g_{4} 129600 =$

$= \frac{lo g _{2} 129600}{lo g _{2} 4} =$

$= \frac{lo g _{2} 129600}{2} =$

$= \frac{1}{2} lo g_{2} 129600 =$

$= lo g_{2} 129600^{\frac{1}{2}} =$

$= lo g_{2} 129600 =$

$= lo g_{2} 360$

c. k. d.

II SPOSÓB:

$lo g_{2} 360 =$

$= \frac{lo g _{3} 360}{lo g _{3} 2} =$

$= \frac{lo g _{3} ( 2 ^{3} \cdot 3 ^{2} \cdot 5 )}{lo g _{3} 2} =$

$= \frac{lo g _{3} 2 ^{3} + lo g _{3} 3 ^{2} + lo g _{3} 5}{lo g _{3} 2} =$

$= \frac{3 lo g _{3} 2 + 2 + lo g _{3} 5}{lo g _{3} 2} =$

$= \frac{3 lo g _{3} 2}{lo g _{3} 2} + \frac{2 + lo g _{3} 5}{lo g _{3} 2} =$

$= 3 + \frac{2 + lo g _{3} 5}{lo g _{3} 2} = \dots$

Zauważmy, że:

$a = lo g_{3} 20 = lo g_{3} (2^{2} \cdot 5) = lo g_{3} 2^{2} + lo g_{3} 5 = 2 lo g_{3} 2 + lo g_{3} 5 (*)$

$b = lo g_{3} 15 = lo g_{3} (3 \cdot 5) = lo g_{3} 3 + lo g_{3} 5 = 1 + lo g_{3} 5 (**)$

Z (*) i (**) wyznaczamy log₃ 5 i log₃ 2 w zależności od a i b:

${a = 2 lo g_{3} 2 + lo g_{3} 5 b = 1 + lo g_{3} 5$

${2 lo g_{3} 2 = a - lo g_{3} 5 lo g_{3} 5 = b - 1$

${2 lo g_{3} 2 = a - (b - 1) lo g_{3} 5 = b - 1$

${2 lo g_{3} 2 = a - b + 1 ∣ : 2 lo g_{3} 5 = b - 1$

${lo g_{3} 2 = \frac{a - b + 1}{2} lo g_{3} 5 = b - 1$

Zatem:

$\dots = 3 + \frac{2 + b - 1}{\frac{a - b + 1}{2}} =$

$= 3 + (2 + b - 1) \cdot \frac{2}{a - b + 1} =$

$= 3 + \frac{( 1 + b ) \cdot 2}{a - b + 1} =$

$= \frac{3 ( a - b + 1 )}{a - b + 1} + \frac{2 + 2 b}{a - b + 1} =$

$= \frac{3 a - 3 b + 3 + 2 + 2 b}{a - b + 1} =$

$= \frac{3 a - b + 5}{a - b + 1}$

c. k. d.

Patrycja Olszowy

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Własności logarytmów

Premium

13:32

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Określenie logarytmu

Premium

13:14

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Funkcja logarytmiczna

Premium

9:46

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.