Rozwiązujemy nierówność:

${27}^x+75\ge 7\cdot 9^x+5\cdot 3^x$

$3^{3x}+75-7\cdot 3^{2x}-5\cdot 3^x\ge 0$

Niech: 

$t=3^x,t>0$

wtedy:

$t^3-7t^2-5t+75\ge 0$

Rozwiązujemy pomocniczo równanie:

$t^3-7t^2-5t+75=0$

Zauważmy, że dla t=-3 dostajemy:

${\left(-3\right)}^3-7\cdot {\left(-3\right)}^2-5\cdot \left(-3\right)+75=-27-7\cdot 9+15+75=-27-63+90=0$

Podzielmy wielomian przez dwumian t+3 schematem Hornera:

	$1$	$-7$	$-5$	$75$
$-3$	$1$	$-10$	$25$	$0$

Zatem dostajemy:

$\left(t+3\right)\left(t^2-10t+25\right)=0$

Rozwiążmy równanie:

$t^2-10t+25=0$

$\Delta ={\left(-10\right)}^2-4\cdot 1\cdot 25=100-100=0$

$t=\frac{10}{2}=5$

Wobec tego należy rozwiązać nierówność:

$\left(t+3\right){\left(t-5\right)}^2\ge 0$      

czyli dostajemy:

$t\in \left(0,+\infty \right)$

Skoro:

$t=3^x$

to mamy:

$3^x\in \left(0,+\infty \right)$

zatem:

$3^x>0$

skąd mamy 

$x\in \mathbb{R}$

co należało wykazać.