Niech: r - promień podstawy walca h - wysokość walca   Wzór na pole powierzchni bocznej walca: $P_b=2\pi r\cdot h$   Wzór na objętość walca: $V=\pi r^2\cdot h$

---

Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym rysunku:

Wiemy, że pole powierzchni bocznej walca jest równe 12π cm², więc:

$2\pi rh=12\pi \mid :\left(2\pi \right)$  

$rh=6\mid :r$  

$h=\frac{6}{r}\left(\text{*}\right)$  

---

a)

Z twierdzenia Pitagorasa:

$d^2={\left(2r\right)}^2+h^2$  

$d^2=4r^2+h^2$  

Podstawiamy (*) i otrzymujemy, że:

$d^2=4r^2+{\left(\frac{6}{r}\right)}^2$  

$d^2=4r^2+\frac{36}{r^2}$  

$d^2=\frac{4r^4}{r^2}+\frac{36}{r^2}$  

$d^2=\frac{4r^4+36}{r^2}$  

Długości odcinków są dodatnie, więc:

$d=\sqrt{\frac{4r^4+36}{r^2}}$  

 

Długość przekątnej przekroju osiowego jest funkcją zmiennej r.

Ustalamy dziedzinę tej funkcji. Długości odcinków są dodatnie, więc:

$r>0\wedge \frac{6}{r}>0$  

$r>0\wedge \left(6r>0\wedge r\ne 0\right)$  

$r>0\wedge r>0$  

$r\in \left(0,+\infty \right)$  

 

Otrzymujemy, że:

$d\left(r\right)=\sqrt{\frac{4r^4+36}{r^2}},D_d=\left(0,+\infty \right)$  

 

Wyznaczymy najmniejszą wartość funkcji d.

 

Zauważmy, że funkcja y=√t, gdzie t∈(0, +∞) jest rosnąca.

Zatem funkcja d przyjmuje wartość najmniejszą dla takiego samego argumentu, jak funkcja

$f\left(r\right)=\frac{4r^4+36}{r^2},D_f=\left(0,+\infty \right)$  

 

Obliczamy pochodną:

$f{}^{\prime }\left(r\right)=\frac{\left(4r^4+36\right){}^{\prime }\cdot r^2-\left(4r^4+36\right)\cdot \left(r^2\right){}^{\prime }}{{\left(r^2\right)}^2}$  

$f{}^{\prime }\left(r\right)=\frac{\left(4\cdot 4r^3+0\right)\cdot r^2-\left(4r^4+36\right)\cdot 2r}{r^4}$  

$f{}^{\prime }\left(r\right)=\frac{16r^3\cdot r^2-8r^5-72r}{r^4}$  

$f{}^{\prime }\left(r\right)=\frac{16r^5-8r^5-72r}{r^4}$  

$f{}^{\prime }\left(r\right)=\frac{8r^5-72r}{r^4},D_{f{}^{\prime }}=\left(0,+\infty \right)$  

 

Wyznaczamy miejsca zerowe pochodnej:

$f{}^{\prime }\left(r\right)=0$  

$\frac{8r^5-72r}{r^4}=0$  

$8r^5-72r=0$  

$8r\left(r^4-9\right)=0$  

$8r=0\vee r^4-9=0$  

$r=0\vee r^4=9$  

$r=0\vee r^2=3$  

$\left[r=0\vee \left(r=\sqrt{3}\vee r=-\sqrt{3}\right)\right]\wedge r\in \left(0,+\infty \right)$  

$r=\sqrt{3}$  

 

Zauważmy, że:

$r^4\ge 0\text{dla}r\in \mathbb{R}\backslash \left\{0\right\}$  

Ponadto:

Zatem:

$f{}^{\prime }\left(r\right)<0\iff r\in \left(0,\sqrt{3}\right)$  

$f{}^{\prime }\left(r\right)>0\iff r\in \left(\sqrt{3},+\infty \right)$  

 

Z własności pochodnej otrzymujemy, że funkcja f jest:

- malejąca w przedziale (0, √3>,

- rosnąca w przedziale <√3, ∞).

To oznacza, że dla argumentu r=√3 funkcja f przyjmuje wartość najmniejszą.

 

Zatem funkcja d przyjmuje wartość najmniejszą dla argumentu r=√3.

 

Przekątna przekroju osiowego ma najmniejszą długość, gdy:

$r=\underline{\underline{\sqrt{3}\left[\text{cm}\right]}}$  

$h=\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{6}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=\underline{\underline{2\sqrt{3}\left[\text{cm}\right]}}$  

---

b)

Wyznaczamy objętość walca:

$V=\pi r^2\cdot h$  

Podstawiamy (*) i otrzymujemy, że:

$V=\pi r^2\cdot \frac{6}{r}$  

$V=\frac{6\pi r^2}{r}$  

$V=6\pi r$  

 

Objętość walca jest funkcją zmiennej r.

Ustalamy dziedzinę tej funkcji. Długości odcinków są dodatnie, więc:

$r>0\wedge \frac{6}{r}>0$  

$r>0\wedge \left(6r>0\wedge r\ne 0\right)$  

$r>0\wedge r>0$  

$r\in \left(0,+\infty \right)$  

 

Otrzymujemy, że:

$V\left(r\right)=6\pi r,D_V=\left(0,+\infty \right)$  

 

Obliczamy objętość walca z podpunktu a):

$V\left(\sqrt{3}\right)=6\pi \cdot \sqrt{3}=6\sqrt{3}\pi$  

 

Zauważmy, że walec z podpunktu a) nie ma najmniejszej objętości.

Weźmy na przykład:

$r=1$  

Wtedy:

$V\left(1\right)=6\pi \cdot 1=6\pi <6\sqrt{3}\pi$