Twierdzenie Stosunek objętości podobnych figur przestrzennych jest równy sześcianowi skali podobieństwa.

---

Oznaczmy przez V objętość danego stożka, a przez V₁, V₂, V₃, V₄ - objętości kolejnych części tego stożka:

Wiemy, że najmniejsza z otrzymanych brył ma objętość równą 1 l, czyli:

$V_1=1$  

 

Zauważmy, że stożek o objętości V₁ jest podobny do stożka o objętości V w skali ¹/₄, więc:

$\frac{V_1}{V}={\left(\frac{1}{4}\right)}^3$  

$\frac{1}{V}=\frac{1}{64}$  

$V=64$  

 

Zauważmy, że stożek o objętości V₁+V₂ jest podobny do stożka o objętości V w skali ¹/₂, więc:

$\frac{V_1+V_2}{V}={\left(\frac{1}{2}\right)}^3$  

$\frac{1+V_2}{64}=\frac{1}{8}$  

$8\left(1+V_2\right)=64\mid :8$  

$1+V_2=8$  

$V_2=8-1$  

$V_2=\underline{\underline{7}}$  

 

Zauważmy, że stożek o objętości V₁+V₂+V₃ jest podobny do stożka o objętości V w skali ³/₄, więc:

$\frac{V_1+V_2+V_3}{V}={\left(\frac{3}{4}\right)}^3$  

$\frac{1+7+V_3}{64}=\frac{27}{64}$  

$\frac{8+V_3}{64}=\frac{27}{64}\mid \cdot 64$  

$8+V_3=27$  

$V_3=27-8$  

$V_3=\underline{\underline{19}}$  

 

Zauważmy, że:

$V_4=V-\left(V_1+V_2+V_3\right)=64-\left(1+7+19\right)=64-27=\underline{\underline{37}}$  

 

Odpowiedź: Objętości pozostałych trzech brył to: 7 l, 19 l, 37 l.