Przypomnijmy, że: Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest trójkąt równoboczny. Wysokości trójkąta równobocznego przecinają się w stosunku 2:1 licząc od wierzchołka.

---

Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym rysunku:

Wiemy, że:

$P_{AEW}=24\sqrt{3}$  

 

Ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego:

$\left|AE\right|=\frac{a\sqrt{3}}{2}$  

Z rysunku:

$\left|AE\right|=2x+x=3x$  

Stąd:

$3x=\frac{a\sqrt{3}}{2}\mid :3$  

$x=\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{3}$  

$x=\frac{a\sqrt{3}}{6}$  

 

Z zależności między długościami boków w trójkącie o kątach 30°, 60°, 90° (trójkąt WES):

$\left|WS\right|=\left|SE\right|\cdot \sqrt{3}$  

$\left|WS\right|=x\sqrt{3}$  

$\left|WS\right|=\frac{a\sqrt{3}}{6}\cdot \sqrt{3}$  

$\left|WS\right|=\frac{a\cdot {\cancel{3}}^1}{{\cancel{6}}^2}$  

$\left|WS\right|=\frac{a}{2}$  

 

Wyznaczamy pole przekroju (pole trójkąta):

$P_{AEW}=\frac{1}{2}\cdot \left|AE\right|\cdot \left|WS\right|=\frac{1}{2}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{a}{2}=\frac{a^2\cdot \sqrt{3}}{8}$  

 

Stąd:

$\frac{a^2\cdot \sqrt{3}}{8}=24\sqrt{3}\mid \cdot 8$  

$a^2\cdot \sqrt{3}=192\sqrt{3}\mid :\sqrt{3}$  

$a^2=192$  

Długości odcinków są dodatnie, więc:

$a=\sqrt{192}$  

$a=\sqrt{64\cdot 3}$  

$a=8\sqrt{3}$  

 

Zatem:

$\left|AE\right|=\frac{8\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{2}=\frac{{\cancel{8}}^4\cdot 3}{{\cancel{2}}^1}=12\left[\text{cm}\right]$  

---

Odpowiedź: B.