Twierdzenie Następujące warunki są równoważne: ostrosłup jest ostrosłupem prostym (na podstawie ostrosłupa można opisać okrąg i spodek wysokości ostrosłupa jest środkiem okręgu opisanego na podstawie), wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa mają jednakową długość, wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa tworzą jednakowe kąty z płaszczyzną podstawy.

---

Z treści zadania wiemy, że wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa mają taką samą długość, więc zgodnie z powyższym twierdzeniem - ostrosłup ten jest ostrosłupem prostym (na podstawie ostrosłupa można opisać okrąg i spodek wysokości ostrosłupa jest środkiem okręgu opisanego na podstawie).

Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym rysunku:

Zauważmy, że podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoramienny, bo:

$\left|AB\right|=\left|BC\right|=6$

Wysokość $BD$ trójkąta równoramiennego $ABC$ dzieli go na dwa przystające trójkąty prostokątne, więc:

$\left|AD\right|=\left|DC\right|=8:2=4$

Pamiętamy, że środek okręgu opisanego na trójkącie to punkt przecięcia symetralnych boków trójkąta, zatem spodek wysokości ostrosłupa leży na $BD$.

 

Z twierdzenia Pitagorasa (trójkąt ADB):

${\left|AD\right|}^2+{\left|BD\right|}^2={\left|AB\right|}^2$  

$4^2+{\left|BD\right|}^2=6^2$  

$16+{\left|BD\right|}^2=36$  

${\left|BD\right|}^2=36-16$  

${\left|BD\right|}^2=20$  

Długości odcinków są dodatnie, więc:

$\left|BD\right|=\sqrt{20}$  

$\left|BD\right|=\sqrt{4\cdot 5}$  

$\left|BD\right|=2\sqrt{5}$  

 

Obliczamy pole trójkąta ABC:

$P_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 2\sqrt{5}=8\sqrt{5}$  

Pole trójkąta ABC możemy również obliczyć ze wzoru:

$P_{ABC}=\frac{6\cdot 6\cdot 8}{4R}=\frac{6\cdot 6\cdot 2}{R}=\frac{72}{R}$  

Stąd:

$8\sqrt{5}=\frac{72}{R}\mid \cdot R$  

$8\sqrt{5}R=72\mid :\left(8\sqrt{5}\right)$  

$R=\frac{72}{8\sqrt{5}}$  

$R=\frac{9}{\sqrt{5}}$  

 

Z twierdzenia Pitagorasa (trójkąt WSB):

${\left|WS\right|}^2+{\left|SB\right|}^2={\left|WB\right|}^2$  

$H^2+R^2=9^2$  

$H^2+{\left(\frac{9}{\sqrt{5}}\right)}^2=9^2$  

$H^2+\frac{81}{5}=81$  

$H^2=81-\frac{81}{5}$  

$H^2=\frac{405}{5}-\frac{81}{5}$  

$H^2=\frac{324}{5}$  

Długości odcinków są dodatnie, więc:

$H=\frac{\sqrt{324}}{\sqrt{5}}$  

$H=\frac{18}{\sqrt{5}}$  

 

Obliczamy objętość tego ostrosłupa:

$V=\frac{1}{3}\cdot \underset{\text{pole podstawy}}{\underbrace{8\sqrt{5}}}\cdot \underset{\text{wysokosˊcˊ}}{\underbrace{\frac{18}{\sqrt{5}}}}=\frac{1}{{\cancel{3}}^1}\cdot 8\cdot {\cancel{18}}^6=\underline{\underline{48\left[{\text{cm}}^3\right]}}$