Przypomnijmy, że podstawą graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest trójkąt równoboczny, a ściany boczne są prostokątami.

---

Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym rysunku:

Obliczymy objętość tego graniastosłupa:

$V=P_p\cdot h=\frac{a^2\cdot \sqrt{3}}{4}\cdot h$  

 

Z zależności między długościami boków w trójkącie o kątach 30°, 60°, 90° (trójkąt BA₁S):

$\left|A_{1}B\right|=2\cdot \left|A_{1}S\right|$  

$6=2\cdot \left|A_{1}S\right|\mid :2$  

$3=\left|A_{1}S\right|$  

 

Ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego:

$\left|A_{1}S\right|=\frac{a\sqrt{3}}{2}$  

 

Zatem:

$\frac{a\sqrt{3}}{2}=3\mid \cdot 2$  

$a\sqrt{3}=6\mid :\sqrt{3}$  

$a=\frac{6}{\sqrt{3}}$  

 

Z twierdzenia Pitagorasa (trójkąt A₁AB):

${\left|A_{1}A\right|}^2+{\left|AB\right|}^2={\left|A_{1}B\right|}^2$  

$h^2+a^2=6^2$  

$h^2+{\left(\frac{6}{\sqrt{3}}\right)}^2=6^2$  

$h^2+\frac{36}{3}=36$  

$h^2+12=36$  

$h^2=36-12$  

$h^2=24$  

Długości odcinków są dodatnie, więc:

$h=\sqrt{24}$  

$h=\sqrt{4\cdot 6}$  

$h=2\sqrt{6}$  

 

Objętość tego graniastosłupa jest równa:

$V=\frac{{\left(\frac{6}{\sqrt{3}}\right)}^2\cdot \sqrt{3}}{4}\cdot 2\sqrt{6}=\frac{\frac{36}{3}\cdot \sqrt{3}}{{\cancel{4}}^2}\cdot {\cancel{2}}^1\sqrt{6}=\frac{{\cancel{12}}^6\sqrt{3}\cdot \sqrt{6}}{{\cancel{2}}^1}=6\sqrt{18}=6\cdot \sqrt{9\cdot 2}=6\cdot 3\sqrt{2}=\underline{\underline{18\sqrt{2}\left[{\text{cm}}^3\right]}}$