Przypomnijmy, że podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat, a ściany boczne są przystającymi trójkątami równoramiennymi.

---

Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym rysunku:

Wiemy, że pole powierzchni całkowitej ostrosłupa jest równe 16:

$P_c=16$  

Wyznaczamy pole powierzchni całkowitej:

$P_c=P_p+P_b=a^2+4\cdot \left(\frac{1}{2}\cdot a\cdot h\right)=a^2+2ah$  

Stąd:

$a^2+2ah=16$  

Wyznaczamy h:

$2ah=16-a^2\mid :2a$  

$h=\frac{16-a^2}{2a}$  

 

Długości odcinków są dodatnie, więc:

$a>0\text{i}h>0$  

$a>0\text{i}\frac{16-a^2}{2a}>0$  

Zauważmy, że skoro a jest liczbą dodatnią, to 2a też jest liczbą dodatnią (iloczyn dwóch liczb dodatnich jest dodatni). Przypomnijmy, że iloraz dwóch liczb jest dodatni, gdy obie liczby są dodatnie lub obie liczby są ujemne. W tym przypadku wiemy, że jedna jest dodatnia (2a>0), więc druga też musi być dodatnia (16-a²>0):

$a>0\text{i}16-a^2>0$  

$a>0\text{i}\left(4-a\right)\left(4+a\right)>0$  

$a>0\text{i}a\in \left(-4,4\right)$  

$a\in \left(0,4\right)$  

 

Z twierdzenia Pitagorasa (trójkąt WEC):

${\left|WE\right|}^2+{\left|EC\right|}^2={\left|WC\right|}^2$  

$h^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=5^2$  

${\left(\frac{16-a^2}{2a}\right)}^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=5^2$  

$\frac{256-32a^2+a^4}{4a^2}+\frac{a^2}{4}=25\mid \cdot 4a^2$  

$256-32a^2+a^4+a^4=100a^2$  

$256-32a^2+2a^4-100a^2=0$  

$2a^4-132a^2+256=0\mid :2$  

$a^4-66a^2+128=0$  

Podstawiamy:

$t=a^2,t>0$  

Otrzymujemy:

$t^2-66t+128=0$  

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

$\Delta ={\left(-66\right)}^2-4\cdot 1\cdot 128=4356-512=3844$  

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{3844}=62$  

$t_1=\frac{-\left(-66\right)-62}{2\cdot 1}=\frac{66-62}{2}=\frac{4}{2}=2$  

$t_2=\frac{-\left(-66\right)+62}{2\cdot 1}=\frac{66+62}{2}=\frac{128}{2}=64$  

Stąd:

$a^2=2\text{lub}{a}^2=64$  

Długości odcinków są dodatnie, więc:

$a=\sqrt{2}\text{lub}a=\sqrt{64}$  

$a=\sqrt{2}\text{lub}a=8$  

 

$\sqrt{2}\in \left(0,4\right)$  

$8\notin \left(0,4\right)$  

 

Ostatecznie:

$a=\underline{\underline{\sqrt{2}}}$