Twierdzenie Następujące warunki są równoważne: ostrosłup jest ostrosłupem prostym (na podstawie ostrosłupa można opisać okrąg i spodek wysokości ostrosłupa jest środkiem okręgu opisanego na podstawie), wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa mają jednakową długość, wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa tworzą jednakowe kąty z płaszczyzną podstawy.   Przypomnijmy, że środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest środkiem przeciwprostokątnej.

---

Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym rysunku:

---

a)

Obliczymy sumę długości krawędzi bocznych tego ostrosłupa, czyli 3b.

 

Zauważmy, że trójkąt ABC to trójkąt o kątach 45°, 45°, 90°, więc:

$\left|AB\right|=\left|AC\right|\cdot \sqrt{2}=8\sqrt{2}$  

 

Ponadto:

$\left|AB\right|=2R$  

 

Zatem:

$2R=8\sqrt{2}\mid :2$  

$R=4\sqrt{2}$  

 

Z twierdzenia Pitagorasa (trójkąt ADS):

$b^2=R^2+7^2$  

$b^2={\left(4\sqrt{2}\right)}^2+7^2$  

$b^2=16\cdot 2+49$  

$b^2=32+49$  

$b^2=81$  

Długości odcinków są dodatnie, więc:

$b=\sqrt{81}$  

$b=9$  

 

Suma długości krawędzi bocznych tego ostrosłupa jest więc równa:

$3b=3\cdot 9=\underline{\underline{27\left[\text{cm}\right]}}$  

---

b)

Obliczymy sinus kąta nachylenia krawędzi AS do płaszczyzny podstawy, czyli sinus kąta SAD.

Niech:

$\left|\sphericalangle SAD\right|=\alpha$  

Spójrzmy na trójkąt ADS:

$\sin \alpha =\frac{7}{b}$  

Z podpunktu a) wiemy, że:

$b=9$  

Zatem:

$\sin \alpha =\underline{\underline{\frac{7}{9}}}$