a)

Założenie:

$\left|AP\right|=\left|PC\right|$

$\left|BQ\right|=\left|QC\right|$   

 

Teza:

$PQ\text{||}\pi$  

 

Dowód:

Zauważmy, że aby pokazać, że:

$PQ\text{||}\pi$  

Wystarczy pokazać, że:

$PQ\text{||}AB$  

 

Z założenia:

$\left|AP\right|=\left|PC\right|\mid :\left|PC\right|$  

$\frac{\left|AP\right|}{\left|PC\right|}=1$  

oraz

$\left|BQ\right|=\left|QC\right|\mid :\left|QC\right|$  

$\frac{\left|BQ\right|}{\left|QC\right|}=1$  

 

Zatem:

$\frac{\left|AP\right|}{\left|PC\right|}=\frac{\left|BQ\right|}{\left|QC\right|}$  

Z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa otrzymujemy, że:

$AB\text{||}PQ$  

c. k. d.

---

b)

Założenie:

$\left|AP\right|\cdot \left|CQ\right|=\left|PC\right|\cdot \left|BQ\right|$  

 

Teza:

$PQ\text{||}AB$  

 

Dowód:

Zauważmy, że aby pokazać, że:

$PQ\text{||}\pi$  

Wystarczy pokazać, że:

$PQ\text{||}AB$  

 

Z założenia:

$\left|AP\right|\cdot \left|CQ\right|=\left|PC\right|\cdot \left|BQ\right|\mid :\left|PC\right|$  

$\frac{\left|AP\right|}{\left|PC\right|}\cdot \left|CQ\right|=\left|BQ\right|\mid :\left|CQ\right|$  

$\frac{\left|AP\right|}{\left|PC\right|}=\frac{\left|BQ\right|}{\left|CQ\right|}$  

Z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa otrzymujemy, że:

$AB\text{||}PQ$  

c. k. d.