Założenia:

$x,y,z\in \mathbb{R}$

$x+y+z=0$   

Teza:

$xy+yz+xz\le 0$  

---

Dowód:

Zapiszmy

$x+y+z=0$  

${\left(x+y+z\right)}^2=0$

Skorzystamy z tożsamości podanej w poleceniu.

$x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz=0\mid -x^2-y^2-z^2$

$2xy+2xz+2yz=-\left(x^2+y^2+z^2\right)\mid :2$

$xy+xz+yz=-\frac{1}{2}\left(x^2+y^2+z^2\right)$  

Zauważmy, że prawa strona równania to liczba nieujemna przemnożona przez - ¹/₂.

$x^2+y^2+z^2\ge 0$  

$-\frac{1}{2}\left(x^2+y^2+z^2\right)\le 0$  

Zatem

$xy+yz+xz\le 0$  

c.d.u.