Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny, gdzie:

$V=108\left[{\text{cm}}^3\right]$  

Niech H będzie wysokością ostrosłupa, wtedy a=1,5H - krawędź podstawy ostrosłupa.

---

Wiemy, że: 

$V=\frac{1}{3}\cdot P_p\cdot H$  

$V=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot H$

zatem: 

$108=\frac{1}{3}\cdot \frac{{\left(1,5H\right)}^2\sqrt{3}}{4}\cdot H\mid \cdot 12$  

$1296=2,25H^2\sqrt{3}\cdot H\mid :2,25$  

$576=H^3\sqrt{3}\mid :\sqrt{3}$  

$\frac{576}{\sqrt{3}}=H^3$  

$\frac{576\sqrt{3}}{3}=H^3$  

$192\sqrt{3}=H^3$  

$2^6\cdot 3^1\cdot 3^{\frac{1}{2}}=H^3$  

$2^6\cdot 3^{\frac{3}{2}}=H^3$  

${\left(2^2\cdot 3^{\frac{1}{2}}\right)}^3=H^3\mid \sqrt[3]{}$  

$H=4\sqrt{3}\left[\text{cm}\right]$  

---

Możemy teraz obliczyć długość krawędzi podstawy ostrosłupa:

$a=1,5H=1,5\cdot 4\sqrt{3}=6\sqrt{3}\left[\text{cm}\right]$  

---

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

---

Wiemy, że:

$\left|OD\right|=\frac{1}{3}h=\frac{1}{3}\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}\sqrt{3}}{6}=3\left[\text{cm}\right]$  

---

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego ODS dostajemy:

$H^2+{\left|OD\right|}^2=h^2$  

${\left(4\sqrt{3}\right)}^2+3^2=h^2$  

$16\cdot 3+9=h^2$  

$48+9=h^2$  

$57=h^2$  

$h=\sqrt{57}=\sqrt{3\cdot 19}\left[\text{cm}\right]$  

---

Obliczamy pole powierzchni bocznej ostrosłupa:

$P_b=3\cdot \frac{1}{2}\cdot a\cdot h=3\cdot \frac{1}{2}\cdot 6\sqrt{3}\cdot \sqrt{57}=9\sqrt{3\cdot 57}=9\sqrt{3\cdot 3\cdot 19}=27\sqrt{19}\left[{\text{cm}}^2\right]$  

Obliczamy pole podstawy ostrosłupa:

$P_p=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{{\left(6\sqrt{3}\right)}^2\sqrt{3}}{4}=\frac{36\cdot 3\sqrt{3}}{4}=27\sqrt{3}\left[{\text{cm}}^2\right]$  

---

Obliczamy pole powierzchni całkowitej ostrosłupa:

$P_c=P_p+P_b=27\sqrt{3}+27\sqrt{19}=27\left(\sqrt{3}+\sqrt{19}\right)\left[{\text{cm}}^2\right]$